Usando o método das séries de potências, resolva o PVI abaixo:
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial usando o método das séries de potências. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Aqui, precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação
com as condições iniciais
e
. Para isso, vamos usar séries de potências, que é uma forma de expressar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de termos envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.
Passo 4
Substituindo
,
e
na equação diferencial:
Vamos multiplicar e reorganizar os termos para facilitar.
Passo 5
Distribuindo
na série de
:
Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo expoente de
.
Passo 6
Ajustando os índices das séries para que todas tenham
:
Isso pode parecer complicado, mas o objetivo é igualar os coeficientes de cada potência de
a zero.
Passo 7
Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, cada coeficiente dentro da soma deve ser zero.
Passo 8
Assim, temos a relação de recorrência:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(para
):
Essa fórmula nos permite calcular
em termos de
e
.
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes:
- Para
, - A derivada
Passo 10
Usando
e
, podemos calcular
:
E assim sucessivamente para os próximos coeficientes.
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, expressa como série de potências, possui os coeficientes definidos pela relação de recorrência
com os primeiros coeficientes
e
.