(2, 0) Usando o método das séries de potências, resolva o PVI abaixo:
{ (x^2 - x + 1) y'' - y' - y = 0 ; y(0) = 0 , y'(0) = 1 }
[OBSERVAÇÃO: tente expressar uma fórmula geral para os coeficientes da série. Valor extra 0,33

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para resolver uma equação diferencial usando o método das séries de potências. Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma função desconhecida com suas derivadas. Aqui, precisamos encontrar a função que satisfaz a equação
com as condições iniciais e . Para isso, vamos usar séries de potências, que é uma forma de expressar soluções de equações diferenciais como somas infinitas de termos envolvendo potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de :
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.

Passo 4

Substituindo , e na equação diferencial:
Vamos multiplicar e reorganizar os termos para facilitar.

Passo 5

Distribuindo na série de :
Agora, reescrevemos todas as séries com o mesmo expoente de .

Passo 6

Ajustando os índices das séries para que todas tenham :
Isso pode parecer complicado, mas o objetivo é igualar os coeficientes de cada potência de a zero.

Passo 7

Agrupando os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , cada coeficiente dentro da soma deve ser zero.

Passo 8

Assim, temos a relação de recorrência:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por (para ):
Essa fórmula nos permite calcular em termos de e .

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes:
  • Para ,
  • A derivada

Passo 10

Usando e , podemos calcular :
E assim sucessivamente para os próximos coeficientes.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, expressa como série de potências, possui os coeficientes definidos pela relação de recorrência
com os primeiros coeficientes e .

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