Calcule
, onde
e C é a curva dada pela interseção dos cilindros
e
no primeiro octante.
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral de linha. A gente precisa calcular
, onde
. A curva
é a interseção dos cilindros
e
no primeiro octante. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores. Vamos precisar entender como parametrizar a curva
e aplicar a fórmula da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela é a interseção de dois cilindros:
e
. No primeiro octante, onde
,
e
são positivos. Para encontrar uma parametrização, podemos resolver essas equações simultaneamente.
Passo 3
Observando as duas equações:
e
. Subtraindo uma da outra, temos
, ou seja,
. Assim, podemos expressar
em função de
:
.
Passo 4
Como
, então
. Agora, podemos parametrizar a curva em função de
:
O intervalo de
vai de 0 a 2, pois estamos no primeiro octante e
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
na integral:
Substituindo
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar
de 0 a 2:
Calculando:
Resposta
A integral
vale
.
Exercícios relacionados
Mostre diretamente que
é diferenciável em
.
Seja
. Use a aproximação linear em um ponto apropriado
para estimar
.
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
a)
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