Calcule integralC F cdot d r, onde F=x i+y f+x y k e C é a curva dada pela interseção dos cilindros x^2+y^2=4 e x^2+z^2=4 no primeiro octante.

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral de linha. A gente precisa calcular , onde . A curva é a interseção dos cilindros e no primeiro octante. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção de dois cilindros: e . No primeiro octante, onde , e são positivos. Para encontrar uma parametrização, podemos resolver essas equações simultaneamente.

Passo 3

Observando as duas equações: e . Subtraindo uma da outra, temos , ou seja, . Assim, podemos expressar em função de : .

Passo 4

Como r(x) = x i + raiz4 - x^2 j + raiz4 - x^2 k , então . Agora, podemos parametrizar a curva em função de :
O intervalo de vai de 0 a 2, pois estamos no primeiro octante e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar drdx = i + ( -xraiz4 - x^2 ) j + ( -xraiz4 - x^2 ) k , que é a derivada de dr = (1 i + -xraiz4 - x^2 j + -xraiz4 - x^2 k ) dx em relação a :
Então,

Passo 6

Agora, vamos substituir integralC F cdot dr = integral0^2 ( x i + y j + x y k ) cdot ( i + -xraiz4 - x^2 j + -xraiz4 - x^2 k ) dx e = integral0^2 ( x cdot 1 + raiz4 - x^2 cdot -xraiz4 - x^2 + x raiz4 - x^2 cdot -xraiz4 - x^2 ) dx na integral:
Substituindo :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
x cdot 1 = x
raiz4 - x^2 cdot -xraiz4 - x^2 = -x
x raiz4 - x^2 cdot -xraiz4 - x^2 = -x^2
Então, a integral fica:
integral0^2 ( x - x - x^2 ) dx = integral0^2 (-x^2) dx

Passo 8

Agora, vamos integrar integral0^2 (-x^2) dx = -integral0^2 x^2 dx = -[ x^33 ]0^2 de 0 a 2:
- ( 2^33 - 0^33 ) = -( 83 ) = -83
Calculando:

Resposta

A integral vale .

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