Calcule , onde e C é a curva dada pela interseção dos cilindros e no primeiro octante.

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício de cálculo de uma integral de linha. A gente precisa calcular , onde . A curva é a interseção dos cilindros e no primeiro octante. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de vetores. Vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção de dois cilindros: e . No primeiro octante, onde , e são positivos. Para encontrar uma parametrização, podemos resolver essas equações simultaneamente.

Passo 3

Observando as duas equações: e . Subtraindo uma da outra, temos , ou seja, . Assim, podemos expressar em função de : .

Passo 4

Como , então . Agora, podemos parametrizar a curva em função de :
O intervalo de vai de 0 a 2, pois estamos no primeiro octante e .

Passo 5

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Então,

Passo 6

Agora, vamos substituir e na integral:
Substituindo :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar de 0 a 2:
Calculando:

Resposta

A integral vale .

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