Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
. Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, que é o conjunto de todos os pares
que a função pode receber. Depois, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Por último, vamos estudar os conjuntos de níveis, identificando as curvas ou superfícies que eles formam e esboçar como esses conjuntos dividem o domínio da função. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções de duas variáveis, domínio, imagem e conjuntos de níveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função
. O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Nesse caso, a função
é um polinômio simples e não há restrições para os valores de
e
. Logo, o domínio é todo o plano
.
Domínio:
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
e
variam em seu domínio. Para a função
, vamos ver quais valores
podem ter.
Como
e
são números reais, e o produto de dois números reais pode resultar em qualquer número real, a imagem da função também será todo o conjunto dos números reais.
Imagem:
Passo 4
Agora vamos estudar os conjuntos de níveis da função
. Um conjunto de nível é o conjunto de pontos
que dão o mesmo valor para a função, ou seja,
, onde
é uma constante.
Então, temos a equação:
Essa é a equação dos hiperboles no plano. Dependendo do valor de
, a forma da hiperbola muda:
- Se
, a hipérbole está nos quadrantes I e III. - Se
, a hipérbole está nos quadrantes II e IV. - Se
, a “hipérbole” se torna as duas linhas coordenadas e .
Nome das curvas: Hiperboles
Passo 5
Por fim, vamos fazer um esboço da decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis. Como vimos, os conjuntos de níveis são hiperboles para
e as linhas coordenadas para
.
No plano
:
- As hiperboles
dividem o plano em quatro regiões distintas: - Quadrante I:
e - Quadrante II:
e - Quadrante III:
e - Quadrante IV:
e
- Quadrante I:
Cada hiperbola separa esses quadrantes conforme o valor de
varia, criando uma “grade” de curvas que dividem o plano em diferentes regiões de acordo com o valor de
.
Resposta
O domínio da função
é todo o plano real, ou seja,
, e a imagem é também todo o conjunto dos números reais,
. Os conjuntos de níveis são hiperboles definidas por
, onde
é uma constante. Essas hiperboles dividem o domínio em quatro quadrantes distintos, formando uma “grade” que separa as diferentes regiões conforme o valor de
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e C é a curva dada pela interseção dos cilindros
e
no primeiro octante.
Mostre diretamente que
é diferenciável em
.
Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
a)
a)
Seja
definido em
e sejam
e
as circunferências
, respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral . Dica:
.
Calcule a integral