Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função . Primeiro, precisamos encontrar o domínio da função, que é o conjunto de todos os pares que a função pode receber. Depois, vamos descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Por último, vamos estudar os conjuntos de níveis, identificando as curvas ou superfícies que eles formam e esboçar como esses conjuntos dividem o domínio da função. Para resolver tudo isso, vamos precisar entender conceitos básicos de funções de duas variáveis, domínio, imagem e conjuntos de níveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função . O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Nesse caso, a função é um polinômio simples e não há restrições para os valores de e . Logo, o domínio é todo o plano .
Domínio:

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando e variam em seu domínio. Para a função , vamos ver quais valores podem ter.
Como e são números reais, e o produto de dois números reais pode resultar em qualquer número real, a imagem da função também será todo o conjunto dos números reais.
Imagem:

Passo 4

Agora vamos estudar os conjuntos de níveis da função . Um conjunto de nível é o conjunto de pontos que dão o mesmo valor para a função, ou seja, , onde é uma constante.
Então, temos a equação:
Essa é a equação dos hiperboles no plano. Dependendo do valor de , a forma da hiperbola muda:
  • Se , a hipérbole está nos quadrantes I e III.
  • Se , a hipérbole está nos quadrantes II e IV.
  • Se , a “hipérbole” se torna as duas linhas coordenadas e .
Nome das curvas: Hiperboles

Passo 5

Por fim, vamos fazer um esboço da decomposição do domínio pelos conjuntos de níveis. Como vimos, os conjuntos de níveis são hiperboles para e as linhas coordenadas para .
No plano :
  • As hiperboles dividem o plano em quatro regiões distintas:
    • Quadrante I: e
    • Quadrante II: e
    • Quadrante III: e
    • Quadrante IV: e
Cada hiperbola separa esses quadrantes conforme o valor de varia, criando uma “grade” de curvas que dividem o plano em diferentes regiões de acordo com o valor de .

Resposta

O domínio da função é todo o plano real, ou seja, , e a imagem é também todo o conjunto dos números reais, . Os conjuntos de níveis são hiperboles definidas por , onde é uma constante. Essas hiperboles dividem o domínio em quatro quadrantes distintos, formando uma “grade” que separa as diferentes regiões conforme o valor de .

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