Seja f(x, y) = x^2 / (y^2 + 1). Use a aproximação linear em um ponto apropriado (a, b) para estimar f(4.01, 0.98).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisamos usar a aproximação linear para estimar o valor de . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente o uso de derivadas parciais para construir a aproximação.

Passo 2

Primeiro, escolhemos um ponto próximo onde a gente conhece bem a função. Como estamos estimando em , um bom ponto de aproximação é .

Passo 3

Vamos calcular o valor da função no ponto :
Esse é o valor base para a nossa aproximação.

Passo 4

Agora, precisamos das derivadas parciais em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
No ponto :
A derivada parcial em relação a é:
No ponto :

Passo 5

Com as derivadas em mãos, a aproximação linear perto de é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A estimativa de usando a aproximação linear é .

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