Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série telescópica converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Imagine que você tem uma sequência de termos onde cada termo tem uma parte positiva e uma parte negativa que “se cancelam” com partes de termos anteriores ou posteriores. Isso facilita a soma porque quase tudo some a zero, ficando apenas algumas partes no início e no fim.

Passo 3

Vamos escrever os primeiros termos da série para ver esse cancelamento. Substituindo por 1, 2, 3, etc.:

Passo 4

Observando esses termos, vemos que do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante. Esse padrão continua, deixando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo de cada par.

Passo 5

Para encontrar a soma geral até o termo , temos:

Passo 6

Notamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:

Passo 7

Para descobrir se a série converge, vamos analisar o limite quando tende ao infinito:

Resposta

A série telescópica converge e sua soma é igual a 3.

Exercícios relacionados

Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.
Calcule , onde e C é a curva dada pela interseção dos cilindros e no primeiro octante.
Seja definido em e sejam e as circunferências , respectivamente, ambas percorridas no sentido antihorário.
Calcule a integral . Dica: .
Use o critério do termo geral para concluir se a série é divergente ou que o teste é inconclusivo
a)