Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série telescópica
converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos individuais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Imagine que você tem uma sequência de termos onde cada termo tem uma parte positiva e uma parte negativa que “se cancelam” com partes de termos anteriores ou posteriores. Isso facilita a soma porque quase tudo some a zero, ficando apenas algumas partes no início e no fim.
Passo 3
Vamos escrever os primeiros termos da série para ver esse cancelamento. Substituindo
por 1, 2, 3, etc.:
Passo 4
Observando esses termos, vemos que
do primeiro termo cancela com
do segundo termo,
do segundo cancela com
do terceiro, e assim por diante. Esse padrão continua, deixando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo de cada par.
Passo 5
Para encontrar a soma geral até o termo
, temos:
Passo 6
Notamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
Passo 7
Para descobrir se a série converge, vamos analisar o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A série telescópica
converge e sua soma é igual a 3.