Determine se séries telescópicas divergem ou convergem, e no caso convergente determine sua soma
a) sumn=1^infty(3n^2-3(n+1)^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a série telescópica converge ou diverge. Se convergir, também precisamos encontrar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de séries telescópicas, que são séries onde muitos termos se cancelam quando somamos os termos individuais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série telescópica. Imagine que você tem uma sequência de termos onde cada termo tem uma parte positiva e uma parte negativa que “se cancelam” com partes de termos anteriores ou posteriores. Isso facilita a soma porque quase tudo some a zero, ficando apenas algumas partes no início e no fim.

Passo 3

Vamos escrever os primeiros termos da série para ver esse cancelamento. Substituindo n=1: & 31^2 - 32^2 = 3 - 34 n=2: & 32^2 - 33^2 = 34 - 39 n=3: & 33^2 - 34^2 = 39 - 316 por 1, 2, 3, etc.:

Passo 4

Observando esses termos, vemos que do primeiro termo cancela com do segundo termo, do segundo cancela com do terceiro, e assim por diante. Esse padrão continua, deixando apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo de cada par.

Passo 5

Para encontrar a soma geral até o termo SN = (3 - 34) + (34 - 39) + (39 - 316) + dots + (3N^2 - 3(N+1)^2) , temos:

Passo 6

Notamos que todos os termos intermediários se cancelam, restando apenas:
SN = 3 - 3(N+1)^2

Passo 7

Para descobrir se a série converge, vamos analisar o limite quando limN to infty SN = limN to infty (3 - 3(N+1)^2) = 3 - 0 = 3 tende ao infinito:

Resposta

A série telescópica converge e sua soma é igual a 3.

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