Mostre diretamente que é diferenciável em .

Passo 1

Então, a gente tem o desafio de mostrar que a função é diferenciável no ponto . Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como verificar essa propriedade passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Em termos mais simples, se a gente olhar para a função perto desse ponto, ela parece uma superfície plana.

Passo 3

Para verificar a diferenciabilidade, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em . As derivadas parciais mostram como a função muda em cada direção (em e em ).

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial em relação a :
Agora, avaliando em :

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a :
E avaliando em :

Passo 6

Com as derivadas parciais encontradas, a próxima etapa é verificar se a função pode ser aproximada linearmente no ponto . Isso significa que a diferença entre a função e o plano tangente deve ser muito pequena perto desse ponto.

Passo 7

Vamos escrever a aproximação linear usando as derivadas parciais:
Sabendo que , temos:

Passo 8

Agora, analisamos o limite da diferença:
Substituindo e , temos:

Passo 9

Podemos fatorar no numerador:
Agora, aplicando a desigualdade triangular e observando que , podemos ver que o limite tende a zero conforme e tendem a zero.

Resposta

Portanto, mostramos diretamente que é diferenciável no ponto .

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