Mostre diretamente que
é diferenciável em
.
Passo 1
Então, a gente tem o desafio de mostrar que a função
é diferenciável no ponto
. Isso está relacionado ao estudo de cálculo diferencial em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e como verificar essa propriedade passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser diferenciável. Uma função de duas variáveis é diferenciável em um ponto se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Em termos mais simples, se a gente olhar para a função perto desse ponto, ela parece uma superfície plana.
Passo 3
Para verificar a diferenciabilidade, a gente precisa calcular as derivadas parciais da função em
. As derivadas parciais mostram como a função muda em cada direção (em
e em
).
Passo 4
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
:
Agora, avaliando em
:
Passo 5
Agora, a derivada parcial em relação a
:
E avaliando em
:
Passo 6
Com as derivadas parciais encontradas, a próxima etapa é verificar se a função pode ser aproximada linearmente no ponto
. Isso significa que a diferença entre a função e o plano tangente deve ser muito pequena perto desse ponto.
Passo 7
Vamos escrever a aproximação linear usando as derivadas parciais:
Sabendo que
, temos:
Passo 8
Agora, analisamos o limite da diferença:
Substituindo
e
, temos:
Passo 9
Podemos fatorar
no numerador:
Agora, aplicando a desigualdade triangular e observando que
, podemos ver que o limite tende a zero conforme
e
tendem a zero.
Resposta
Portanto, mostramos diretamente que
é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Seja
. Use a aproximação linear em um ponto apropriado
para estimar
.
Um garoto tem peso
e altura
. Use a aproximação linear para estimar a variação em
se
mudar para
.
Calcule
, onde
e C é a curva dada pela interseção dos cilindros
e
no primeiro octante.
Nos itens abaixo encontre, o domínio da função, e a imagem da função. Feito isto, faça um estudo dos conjuntos de níveis, informando os nomes das curvas ou superfícies de níveis, caso sejam conhecidas, e fazendo um esboço da decomposição do domínio destes conjuntos de níveis.