Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos encarar essa equação diferencial: . A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que é ótimo quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que a gente já conhece, tipo polinômios, exponenciais, etc. Primeiro, precisamos achar a solução geral dessa equação, que é formada pela solução da equação homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é zero: . Para isso, montamos a equação característica substituindo por :

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática: . O discriminante é dado por:
Como , temos raízes reais e iguais.

Passo 4

Com raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes arbitrárias que vamos determinar com condiç��es iniciais, se tiver.

Passo 5

Agora, bora achar a solução particular da equação completa . O lado direito é , que são uma constante e uma exponencial. A gente supõe formas para baseadas nessas funções.

Passo 6

Para a constante , a solução particular será também uma constante, digamos . Para , que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por para não se sobrepor. Então, .
Assim, a solução particular completa é:

Passo 7

Vamos derivar e substituir na equação original para encontrar os coeficientes e :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos e .

Passo 8

Portanto, a solução particular é . Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:

Resposta

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Calcule onde:
e é a curva interseção do cilindro e o plano no sentido antihorário visto de cima.
Resolva as integrais abaixo.
35)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas: Resp.: