Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos encarar essa equação diferencial:
. A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar, que é ótimo quando o lado direito da equação é uma combinação de funções que a gente já conhece, tipo polinômios, exponenciais, etc. Primeiro, precisamos achar a solução geral dessa equação, que é formada pela solução da equação homogênea mais uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, ou seja, onde o lado direito é zero:
. Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
. O discriminante
é dado por:
Como
, temos raízes reais e iguais.
Passo 4
Com raízes iguais, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes arbitrárias que vamos determinar com condiç��es iniciais, se tiver.
Passo 5
Agora, bora achar a solução particular
da equação completa
. O lado direito é
, que são uma constante e uma exponencial. A gente supõe formas para
baseadas nessas funções.
Passo 6
Para a constante
, a solução particular será também uma constante, digamos
. Para
, que já aparece na solução homogênea, precisamos multiplicar por
para não se sobrepor. Então,
.
Assim, a solução particular completa é:
Passo 7
Vamos derivar
e substituir na equação original para encontrar os coeficientes
e
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Substituindo na equação:
Simplificando e igualando os coeficientes, encontramos
e
.
Passo 8
Portanto, a solução particular é
. Assim, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a particular:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
onde:
e
é a curva interseção do cilindro
e o plano
no sentido antihorário visto de cima.
Resolva as integrais abaixo.
35)
35)
Utilize o método dos coeficientes a determinar para calcular a solução geral das equações diferenciais dadas:
Resp.: