Calcule integralC F cdot d r ao longo da curva C
(e) & F(x, y, z)=(x-2 y) i+x y j & C: r(t)=3 cos t i+2 sin t j 0 <= t <= pi / 2
Sol. 3 pi-1 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva C. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos precisar definir a parametrização da curva C, substituir na integral e calcular passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o campo vetorial F e a parametrização da curva C:
F(x, y, z) = (x - 2y) i + xy j
r(t) = 3 cos t , i + 2 sin t , j, 0 <= t <= pi2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização r(t) em relação a t, que é dr/dt:
drdt = -3 sin t , i + 2 cos t , j

Passo 4

Substituímos a parametrização r(t) no campo vetorial F:
F(r(t)) = (3 cos t - 2 cdot 2 sin t) i + (3 cos t cdot 2 sin t) j
Simplificando:
F(r(t)) = (3 cos t - 4 sin t) i + 6 cos t sin t , j

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot drdt:
(3 cos t - 4 sin t)(-3 sin t) + (6 cos t sin t)(2 cos t)
Simplificando:
-9 cos t sin t + 12 sin^2 t + 12 cos^2 t sin t

Passo 6

Integrando de t = 0 a t = pi2:
integral0^pi2 ( -9 cos t sin t + 12 sin^2 t + 12 cos^2 t sin t ) dt
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Integrando cada termo:
  1. -9 integral cos t sin t , dt = -92 sin^2 t
  2. 12 integral sin^2 t , dt = 12 ( t2 - sin 2t4 )
  3. 12 integral cos^2 t sin t , dt
    Fazendo a substituição u = cos t, du = -sin t , dt, então: -12 integral u^2 , du = -4 u^3 = -4 cos^3 t

Passo 8

Agora, avaliamos as integrais nos limites de 0 a pi2:
  1. -92 sin^2 (pi2) + 92 sin^2(0) = -92
  2. 12 ( pi22 - sin pi4 ) - 12 ( 02 - sin 04 ) = 12 ( pi4 ) = 3pi
  3. -4 cos^3 (pi2) + 4 cos^3(0) = 0 + 4 = 4

Passo 9

Somando todos os resultados:
- 92 + 3pi + 4 = 3pi - 12

Resposta

3pi - 12

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