Calcule
ao longo da curva
(e)
Sol.
(e)
Sol.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso envolve conhecimentos de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha e parametrização de curvas. Vamos precisar definir a parametrização da curva
, substituir na integral e calcular passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo vetorial
e a parametrização da curva
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, que é
:
Passo 4
Substituímos a parametrização
no campo vetorial
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Integrando de
a
:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Integrando cada termo:
-
-
-
Fazendo a substituição, , então:
Passo 8
Agora, avaliamos as integrais nos limites de
a
:
Passo 9
Somando todos os resultados: