Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(f) integral raizsen x cos (x) d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função trigonométrica:
integral raizsin x cos x , dx
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim a expressão.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma substituição que facilite a integral. Observando a função u = sin x e o termo dudx = cos x , percebemos que a derivada de du = cos x , dx é .
Então, fazemos:
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :
Isso significa que:

Passo 3

Com essa substituição, podemos reescrever a integral original em termos de integral raizsin x cos x , dx = integral raizu , du :
Agora, a integral ficou mais simples: precisamos integrar em relação a .

Passo 4

Vamos resolver a integral integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . Sabemos que integral u^1/2 , du = u^3/232 + C = 23 u^3/2 + C pode ser escrita como . A regra para integrar potências de é:
Onde e é a constante de integração.
Aplicando essa regra com :

Passo 5

Agora, precisamos voltar à variável original 23 u^3/2 + C = 23 (sin x)^3/2 + C , substituindo de volta por :

Resposta

Assim, a integral 23 ( sin x )^32 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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