Calcule as seguintes integrais envolvendo funções trigonométricas.
(f)
(f)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral de uma função trigonométrica:
Aqui, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver essa integral, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, simplificando assim a expressão.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma substituição que facilite a integral. Observando a função
e o termo
, percebemos que a derivada de
é
.
Então, fazemos:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
Passo 3
Com essa substituição, podemos reescrever a integral original em termos de
:
Agora, a integral ficou mais simples: precisamos integrar
em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral
. Sabemos que
pode ser escrita como
. A regra para integrar potências de
é:
Onde
e
é a constante de integração.
Aplicando essa regra com
:
Passo 5
Agora, precisamos voltar à variável original
, substituindo
de volta por
:
Resposta
Assim, a integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.