Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f) integral 1raizx^2-4 x-5 d x

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular a integral integral 1raizx^2-4x-5 , dx. Vamos usar substituição trigonométrica para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão x^2-4x-5 para simplificar a integral.
x^2 - 4x - 5 = (x^2 - 4x + 4) - 4 - 5 = (x - 2)^2 - 9
Então, a integral fica:
integral 1raiz(x - 2)^2 - 9 , dx

Passo 3

Agora, a expressão dentro da raiz é da forma raizu^2 - a^2, onde u = x - 2 e a = 3. Para esse caso, a substituição trigonométrica adequada é:
u = a sectheta ou seja, x - 2 = 3 sectheta

Passo 4

Vamos diferenciar x - 2 = 3 sectheta para encontrar dx em termos de theta:
ddtheta(x - 2) = ddtheta(3 sectheta)
dxdtheta = 3 sectheta tantheta
dx = 3 sectheta tantheta , dtheta

Passo 5

Substituindo x - 2 = 3 sectheta e dx = 3 sectheta tantheta , dtheta na integral original:
integral 1raiz(x - 2)^2 - 9 , dx = integral 1raiz9 sec^2theta - 9 cdot 3 sectheta tantheta , dtheta
Simplificando a expressão sob a raiz:
raiz9 sec^2theta - 9 = raiz9 (sec^2theta - 1) = 3 tantheta

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 13 tantheta cdot 3 sectheta tantheta , dtheta = integral sectheta , dtheta

Passo 7

A integral de sectheta é conhecida:
integral sectheta , dtheta = ln|sectheta + tantheta| + C

Passo 8

Agora, vamos reverter a substituição original, onde:
x - 2 = 3 sectheta Rightarrow sectheta = x - 23
E usando a relação tantheta = raizsec^2theta - 1:
tantheta = raiz(x - 23)^2 - 1 = raizx^2 - 4x - 53

Passo 9

Substituindo de volta na solução:
ln|sectheta + tantheta| + C = ln|x - 23 + raizx^2 - 4x - 53| + C = ln|x - 2 + raizx^2 - 4x - 53| + C
Podemos simplificar a constante múltipla dentro do logaritmo:
ln|x - 2 + raizx^2 - 4x - 5| + C'
onde C' = C - ln 3

Resposta

A integral integral 1raizx^2-4x-5 , dx é igual a ln|x - 2 + raizx^2-4x-5| + C, onde C é a constante de integração.

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