Use substituição trigonométrica e calcule as integrais:
(f)
Passo 1
Neste exercício, a gente precisa calcular a integral . Vamos usar substituição trigonométrica para resolver essa integral. Para isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e aplicar algumas identidades trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão para simplificar a integral.
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, a expressão dentro da raiz é da forma , onde e . Para esse caso, a substituição trigonométrica adequada é:
Passo 4
Vamos diferenciar para encontrar em termos de :
Passo 5
Substituindo e na integral original:
Simplificando a expressão sob a raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
A integral de é conhecida:
Passo 8
Agora, vamos reverter a substituição original, onde:
E usando a relação :
Passo 9
Substituindo de volta na solução:
Podemos simplificar a constante múltipla dentro do logaritmo:
ln|x - 2 + raizx^2 - 4x - 5| + C'
onde C' = C - ln 3
Resposta
A integral integral 1raizx^2-4x-5 , dx é igual a ln|x - 2 + raizx^2-4x-5| + C, onde C é a constante de integração.