Calcule , onde é o campo vetorial e C é a curva com orientação positiva que contorna o quadrado de vértices , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva é o contorno de um quadrado com vértices em , , e , percorrido no sentido positivo (anti-horário). Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área, facilitando bastante nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada positiva é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Em fórmulas, fica assim:
Passo 3
Agora, vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Precisamos calcular as derivadas parciais e :
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Vamos agora configurar a integral dupla sobre a região , que é o quadrado com lados de 0 a 2 tanto para quanto para :
Como a função não depende de , a integral interna é simples: