Calcule integralC F cdot d r, onde F é o campo vetorial F(x, y)=y i+x^2 j e C é a curva com orientação positiva que contorna o quadrado de vértices (0,0), (2,0),(2,2) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva é o contorno de um quadrado com vértices em , , e , percorrido no sentido positivo (anti-horário). Para isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais de área, facilitando bastante nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointC P, dx + Q, dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada positiva é igual à integral dupla sobre a região limitada por de . Em fórmulas, fica assim:

Passo 3

Agora, vamos identificar P = y e Q = x^2 e partial Qpartial x = partialpartial x (x^2) = 2x no nosso campo vetorial:
partial Ppartial y = partialpartial y (y) = 1
Precisamos calcular as derivadas parciais partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x - 1 e :
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:

Passo 4

Vamos agora configurar a integral dupla sobre a região integral duplaD (2x - 1), dA = integralx=0^2 integraly=0^2 (2x - 1), dy, dx , que é o quadrado com lados de 0 a 2 tanto para integraly=0^2 (2x - 1), dy = (2x - 1) times (2 - 0) = 2(2x - 1) quanto para :
Como a função não depende de , a integral interna é simples:

Passo 5

Agora, integramos em relação a integralx=0^2 2(2x - 1), dx = 2 integral0^2 (2x - 1), dx :
2 [ integral0^2 2x, dx - integral0^2 1, dx ] = 2 [ x^2 |0^2 - x |0^2 ] = 2 [ (4 - 0) - (2 - 0) ] = 2 times 2 = 4
Calculando a integral:

Resposta

A integral vale 4.

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