Calcule
, onde
é a curva retangular constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
, de
a
e de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral
, onde
é uma curva retangular formada pelos segmentos de reta entre os pontos
a
,
a
,
a
e
de volta para
.
Vamos precisar entender como calcular integrais ao longo de curvas, especialmente segmentando a curva
em partes mais simples para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
em quatro segmentos menores:
- Segmento 1: De
a - Segmento 2: De
a - Segmento 3: De
a - Segmento 4: De
a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Segmento 1: De
a
Neste segmento,
e
porque não há variação na coordenada
. Além disso,
varia de 0 a 1, então
.
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral nesse segmento é 0.
Passo 4
Segmento 2: De
a
Aqui,
e
porque
não muda.
varia de 0 a 2, então
.
Substituindo na integral:
Portanto, a integral nesse segmento vale 2.
Passo 5
Segmento 3: De
a
Neste caso,
e
porque
permanece constante.
varia de 1 a 0, ou seja, decrementa, então
.
Substituindo na integral:
Mas como estamos indo de 1 para 0, isso equivale a somar 2. Portanto, a integral nesse segmento também é 2.
Passo 6
Segmento 4: De
a
Aqui,
e
porque
não muda.
varia de 2 a 0, ou seja, decrementa, então
.
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse segmento é 0.
Resposta
Somando as integrais de todos os segmentos:
.
Resposta final: A integral
vale 4.