Calcule integralC-y d x+x d y, onde C é a curva retangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (1,0), de (1,0) a (1,2), de (1,2) a (0,2) e de (0,2) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O exercício pede para calcular a integral , onde é uma curva retangular formada pelos segmentos de reta entre os pontos a , a , a e de volta para .
Vamos precisar entender como calcular integrais ao longo de curvas, especialmente segmentando a curva em partes mais simples para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva em quatro segmentos menores:
  1. Segmento 1: De a
  2. Segmento 2: De a
  3. Segmento 3: De a
  4. Segmento 4: De a
Vamos calcular a integral em cada um desses segmentos separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Segmento 1: De integral0^1 -0 cdot dx + x cdot 0 = 0 a
Neste segmento, e porque não há variação na coordenada . Além disso, varia de 0 a 1, então .
Substituindo na integral:
Ou seja, a integral nesse segmento é 0.

Passo 4

Segmento 2: De integral0^2 -y cdot 0 + 1 cdot dy = integral0^2 dy = [y]0^2 = 2 - 0 = 2 a
Aqui, e porque não muda. varia de 0 a 2, então .
Substituindo na integral:
Portanto, a integral nesse segmento vale 2.

Passo 5

Segmento 3: De integral1^0 -2 cdot dx + x cdot 0 = integral1^0 -2 cdot (-1) , dx = integral1^0 2 , dx = [2x]1^0 = 0 - 2 = -2 a
Neste caso, e porque permanece constante. varia de 1 a 0, ou seja, decrementa, então .
Substituindo na integral:
Mas como estamos indo de 1 para 0, isso equivale a somar 2. Portanto, a integral nesse segmento também é 2.

Passo 6

Segmento 4: De integral2^0 -y cdot 0 + 0 cdot dy = 0 a
Aqui, e porque não muda. varia de 2 a 0, ou seja, decrementa, então .
Substituindo na integral:
Então, a integral nesse segmento é 0.

Resposta

Somando as integrais de todos os segmentos: .
Resposta final: A integral vale 4.

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