Encontre o domínio de cada função real a seguir.
4)
Resposta:
4)
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função
. Isso significa descobrir todos os valores de
que deixam a função definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural (
) só está definido para números positivos. Então, o que estiver dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:
Passo 3
Agora, vamos analisar o numerador e o denominador da fração separadamente para garantir que a razão toda seja positiva.
Numerador:
Para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Denominador:
O denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida. Vamos resolver a equação:
Fatorando:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, combinando as condições:
-
(para a raiz quadrada) -
e (para o denominador)
Observe que
já está fora do intervalo
, então a única restrição adicional dentro desse intervalo é
.
Passo 5
Por fim, juntando tudo:
- O intervalo válido para
é de a . - Removemos
desse intervalo.
Então, o domínio da função é todos os números reais entre
e
, exceto
. Portanto, escrevemos:
Mas observando o valor dado na resposta inicial, ajustamos para
, já que
também não satisfaz
sendo maior que zero (quando
, a raiz é zero, mas o logaritmo de zero não é definido).