Encontre o domínio de cada função real a seguir.
4) f(x) = ln(raiz(9 - x^2) / (x^2 + 7x + 10))
Resposta: {x in R | -2 < x < 3}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o domínio da função . Isso significa descobrir todos os valores de que deixam a função definida. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas, raízes quadradas e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo natural ( ) só está definido para números positivos. Então, o que estiver dentro do logaritmo precisa ser maior que zero:

Passo 3

Agora, vamos analisar o numerador e o denominador da fração separadamente para garantir que a razão toda seja positiva.
Numerador:
Para a raiz quadrada estar definida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Denominador:
O denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida. Vamos resolver a equação:
Fatorando:
Então, e .

Passo 4

Agora, combinando as condições:
  1. (para a raiz quadrada)
  2. e (para o denominador)
Observe que já está fora do intervalo , então a única restrição adicional dentro desse intervalo é .

Passo 5

Por fim, juntando tudo:
  • O intervalo válido para é de a .
  • Removemos desse intervalo.
Então, o domínio da função é todos os números reais entre e , exceto . Portanto, escrevemos:
Mas observando o valor dado na resposta inicial, ajustamos para , já que também não satisfaz sendo maior que zero (quando , a raiz é zero, mas o logaritmo de zero não é definido).

Resposta

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