Calcule integralC x^4 d x+x y d y, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (2,0), de (2,0) a (0,2) e de (0,2) a (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC x^4 dx + x y dy, onde C é o contorno triangular formado pelos segmentos de reta de (0,0) a (2,0), de (2,0) a (0,2) e de (0,2) a (0,0). A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Precisamos parametrizar cada segmento da curva C e calcular a integral em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva C em três segmentos:
  1. Segmento 1: de (0,0) a (2,0)
  2. Segmento 2: de (2,0) a (0,2)
  3. Segmento 3: de (0,2) a (0,0)
Vamos parametrizar cada segmento separadamente para facilitar o cálculo da integral.

Passo 3

Segmento 1: de (0,0) a (2,0)
Aqui, y permanece constante em 0, e x varia de 0 a 2. Podemos parametrizar assim:
x = t, y = 0, onde t in [0, 2]
Derivando em relação a t:
dx = dt, dy = 0
Agora, substituímos na integral:
integralC1 x^4 dx + x y dy = integral0^2 t^4 dt + t cdot 0 cdot 0 = integral0^2 t^4 dt
Calculando:
integral0^2 t^4 dt = [ t^55 ]0^2 = 325 - 0 = 325

Passo 4

Segmento 2: de (2,0) a (0,2)
Aqui, tanto x quanto y variam. Podemos usar uma parametrização linear:
x = 2 - 2t, y = 0 + 2t, onde t in [0, 1]
Derivando em relação a t:
dx = -2 dt, dy = 2 dt
Substituindo na integral:
integralC2 x^4 dx + x y dy = integral0^1 (2 - 2t)^4 (-2) dt + (2 - 2t)(2t)(2) dt
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, expandimos (2 - 2t)^4:
(2 - 2t)^4 = 16(1 - t)^4 = 16(1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4)
Agora, a integral fica:
integral0^1 16(1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4)(-2) dt + integral0^1 (2 - 2t)(2t)(2) dt
Simplificando:
-32 integral0^1 (1 - 4t + 6t^2 - 4t^3 + t^4) dt + 8 integral0^1 (1 - t)(t) dt
Calculando cada integral:
Primeira parte:
-32 [ t - 2t^2 + 2t^3 - t^4 + t^55 ]0^1 = -32 (1 - 2 + 2 - 1 + 15) = -32 cdot 15 = -325
Segunda parte:
8 integral0^1 (t - t^2) dt = 8 [ t^22 - t^33 ]0^1 = 8 ( 12 - 13 ) = 8 cdot 16 = 86 = 43
Somando as duas partes:
-325 + 43 = -9615 + 2015 = -7615

Passo 5

Segmento 3: de (0,2) a (0,0)
Neste segmento, x permanece constante em 0, e y varia de 2 a 0. Podemos parametrizar assim:
x = 0, y = 2 - 2t, onde t in [0, 1]
Derivando em relação a t:
dx = 0, dy = -2 dt
Substituindo na integral:
integralC3 x^4 dx + x y dy = integral0^1 0^4 cdot 0 , dt + 0 cdot (2 - 2t) cdot (-2) dt = 0

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
325 - 7615 + 0 = 9615 - 7615 = 2015 = 43
Portanto, o valor da integral é boxeddfrac43.

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