Calcule
, onde
é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
é o contorno triangular formado pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
a
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Precisamos parametrizar cada segmento da curva
e calcular a integral em cada um deles.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
em três segmentos:
- Segmento 1: de
a - Segmento 2: de
a - Segmento 3: de
a
Vamos parametrizar cada segmento separadamente para facilitar o cálculo da integral.
Passo 3
Segmento 1: de
a
Aqui,
permanece constante em
, e
varia de
a
. Podemos parametrizar assim:
Derivando em relação a
:
Agora, substituímos na integral:
Calculando:
Passo 4
Segmento 2: de
a
Aqui, tanto
quanto
variam. Podemos usar uma parametrização linear:
Derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, expandimos
:
Agora, a integral fica:
Simplificando:
Calculando cada integral:
Primeira parte:
Segunda parte:
Somando as duas partes:
Passo 5
Segmento 3: de
a
Neste segmento,
permanece constante em
, e
varia de
a
. Podemos parametrizar assim:
Derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral é
.