Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
, com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular
, onde o campo vetorial
. O caminho
é o triângulo com vértices em
,
e
, com orientação anti-horária visto do primeiro octante para a origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o caminho
. É um triângulo formado pelos pontos
,
e
. Esse triângulo tem três arestas:
- De
a - De
a - De
a
Vamos calcular a integral de linha em cada uma dessas arestas e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos parametrizar cada segmento do triângulo:
Segmento 1: De
a
Podemos usar um parâmetro
que varia de 0 a 1:
Então, o vetor derivada
.
Segmento 2: De
a
Derivada:
.
Segmento 3: De
a
Derivada:
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral em cada segmento.
Integral no Segmento 1:
Primeiro, substituímos
em
:
Agora, calculamos o produto escalar
:
Integramos de 0 a 1:
Integral no Segmento 2:
Substituímos
em
:
Produto escalar
:
Integramos de 0 a 1:
Integral no Segmento 3:
Substituímos
em
:
Produto escalar
:
Integramos de 0 a 1:
Resposta
Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral
é
.
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Calcule os limites a seguir:
(j) onde,
.
(j)
Determinar o domínio das seguintes funções: