Calcule , onde é o triângulo de vértices e , com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular , onde o campo vetorial . O caminho é o triângulo com vértices em , e , com orientação anti-horária visto do primeiro octante para a origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . É um triângulo formado pelos pontos , e . Esse triângulo tem três arestas:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral de linha em cada uma dessas arestas e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento do triângulo:
Segmento 1: De a
Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1:
Então, o vetor derivada .
Segmento 2: De a
Derivada: .
Segmento 3: De a
Derivada: .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento.
Integral no Segmento 1:
Primeiro, substituímos em :
Agora, calculamos o produto escalar :
Integramos de 0 a 1:
Integral no Segmento 2:
Substituímos em :
Produto escalar :
Integramos de 0 a 1:
Integral no Segmento 3:
Substituímos em :
Produto escalar :
Integramos de 0 a 1:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
Portanto, o valor da integral é .

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(j) onde, .
Determinar o domínio das seguintes funções: