Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=(x-z) i+(y-x) j+(z-x y) k, C é o triângulo de vértices (1,0,0),(0,1,0) e (0,0,1), com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! A questão pede para calcular , onde o campo vetorial . O caminho é o triângulo com vértices em , e , com orientação anti-horária visto do primeiro octante para a origem. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o caminho . É um triângulo formado pelos pontos , e . Esse triângulo tem três arestas:
  1. De a
  2. De a
  3. De a
Vamos calcular a integral de linha em cada uma dessas arestas e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos parametrizar cada segmento do triângulo:
Segmento 1: De r1(t) = (1 - t)i + tj + 0k, t in [0,1] a r2(t) = 0i + (1 - t)j + tk, t in [0,1]
Podemos usar um parâmetro r3(t) = ti + 0j + (1 - t)k, t in [0,1] que varia de 0 a 1:
Então, o vetor derivada .
Segmento 2: De a
Derivada: .
Segmento 3: De a
Derivada: .

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral em cada segmento.
Integral no Segmento 1:
Primeiro, substituímos F(r1(t)) = ((1 - t) - 0)i + (t - (1 - t))j + (0 - (1 - t)t)k = (1 - t)i + (2t -1)j - t(1 - t)k em (1 - t)(-1) + (2t - 1)(1) + [-t(1 - t)](0) = -1 + t + 2t - 1 = 3t - 2 :
integral0^1 (3t - 2) dt = [32t^2 - 2t]0^1 = 32 - 2 = -12
Agora, calculamos o produto escalar F(r2(t)) = (0 - t)i + ((1 - t) - 0)j + (t - 0 cdot (1 - t))k = -ti + (1 - t)j + tk :
(-t)(0) + (1 - t)(-1) + t(1) = -(1 - t) + t = -1 + t + t = 2t -1
Integramos de 0 a 1:
integral0^1 (2t -1) dt = [t^2 - t]0^1 = 1 -1 = 0
Integral no Segmento 2:
Substituímos F(r3(t)) = (t - (1 - t))i + (0 - t)j + ((1 - t) - t cdot 0)k = (2t -1)i - tj + (1 - t)k em (2t -1)(1) + (-t)(0) + (1 - t)(-1) = 2t -1 -1 + t = 3t -2 :
integral0^1 (3t -2) dt = [32t^2 - 2t]0^1 = 32 - 2 = -12
Produto escalar :
Integramos de 0 a 1:
Integral no Segmento 3:
Substituímos em :
Produto escalar :
Integramos de 0 a 1:

Resposta

Somando as integrais dos três segmentos:
-12 + 0 - 12 = -1
Portanto, o valor da integral é .

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