Calcule os limites a seguir:
(j) onde, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: , onde a função é definida por:
Aqui, estamos trabalhando com o conceito de limite em cálculo, que nos ajuda a entender o comportamento de uma função quando a variável se aproxima de um valor específico, nesse caso, 0. Para resolver, vamos precisar avaliar como se comporta quando está bem próximo de 0, mas diferente de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um limite. O limite de uma função quando se aproxima de um valor é o valor que tende a assumir à medida que fica cada vez mais próximo de . Importante: o limite não se preocupa com o valor exato de , mas sim com os valores de próximos a .

Passo 3

No nosso caso, queremos . Observando a definição da função , vemos que para todo diferente de 0, . Portanto, para calcular o limite, vamos considerar apenas os valores de quando está próximo de 0, mas diferente de 0. Assim, podemos focar em .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0. Sabemos que:
Isso porque, conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0, já que elevar um número muito pequeno ao quadrado resulta em um valor ainda menor.

Resposta

Portanto, o limite é igual a 0.

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Calcule , onde é o triângulo de vértices e , com orientação anti horária olhando do primeiro octante para a origem.
Determinar o domínio das seguintes funções: