Calcule integralC F cdot d r, sendo F(x, y, z)=2 x y^3 z^4 i+3 x^2 y^2 z^4 j+4 x^2 y^3 z^3 k e C: x=t, y=t^2, z=t^3, 0 <= t <= 2, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a curva x = t, y = t^2, z = t^3, onde 0 <= t <= 2 que está parametrizada por:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a 2. Isso nos dá uma maneira de descrever qualquer ponto na curva em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor derivada dxdt = 1, dydt = 2t, dzdt = 3t^2 , que representa a taxa de variação da posição ao longo da curva. A derivada de cada componente em relação a drdt = lang<= 1, 2t, 3t^2 rang<= é:
Então, o vetor derivada fica:

Passo 4

Vamos substituir a parametrização da curva F(x, y, z) = 2xy^3z^4 i + 3x^2y^2z^4 j + 4x^2y^3z^3 k no campo vetorial F(t) = 2(t)(t^2)^3(t^3)^4 i + 3(t)^2(t^2)^2(t^3)^4 j + 4(t)^2(t^2)^3(t^3)^3 k . O campo dado é:
Substituindo , , e , temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada componente de F(t) = 2t cdot t^6 cdot t^12 i + 3t^2 cdot t^4 cdot t^12 j + 4t^2 cdot t^6 cdot t^9 k :
F(t) = 2t^19 i + 3t^18 j + 4t^17 k
Simplificando os expoentes:
Agora, temos em termos de .

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar F(t) cdot drdt = (2t^19) cdot 1 + (3t^18) cdot 2t + (4t^17) cdot 3t^2 :
= 2t^19 + 6t^19 + 12t^19 = (2 + 6 + 12)t^19 = 20t^19
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos o resultado de integral0^2 20t^19 dt = 20 cdot [ t^2020 ]0^2 = [ t^20 ]0^2 = 2^20 - 0 = 1048576 a :

Resposta

O valor da integral de linha é 1.048.576.

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