Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a curva que está parametrizada por:
Aqui, é o parâmetro que varia de 0 a 2. Isso nos dá uma maneira de descrever qualquer ponto na curva em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor derivada , que representa a taxa de variação da posição ao longo da curva. A derivada de cada componente em relação a é:
Então, o vetor derivada fica:

Passo 4

Vamos substituir a parametrização da curva no campo vetorial . O campo dado é:
Substituindo , , e , temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada componente de :
Simplificando os expoentes:
Agora, temos em termos de .

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos o resultado de a :

Resposta

O valor da integral de linha é 1.048.576.

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