Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar a curva, calcular a derivada da parametrização e depois integrar o produto escalar do campo vetorial com essa derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a curva
que está parametrizada por:
Aqui,
é o parâmetro que varia de 0 a 2. Isso nos dá uma maneira de descrever qualquer ponto na curva
em termos de
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor derivada
, que representa a taxa de variação da posição ao longo da curva. A derivada de cada componente em relação a
é:
Então, o vetor derivada fica:
Passo 4
Vamos substituir a parametrização da curva
no campo vetorial
. O campo dado é:
Substituindo
,
, e
, temos:
Passo 5
Vamos simplificar cada componente de
:
Simplificando os expoentes:
Agora, temos
em termos de
.
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, integramos o resultado de
a
:
Resposta
O valor da integral de linha é 1.048.576.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
.
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.