Se o campo vetorial for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um campo vetorial específico . A gente precisa descobrir a função potencial desse campo, que é uma função cujo gradiente dá exatamente . Depois, com essa função potencial, vamos calcular a integral de linha . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é conservativo, ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar . Ou seja:
Então, temos que:

Passo 3

Vamos integrar a equação (1) em rela��ão a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende só de e , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar . Sabemos que:
Então:
Isso implica que , ou seja, não depende de . Portanto, , onde é uma função de apenas.

Passo 5

Agora, vamos usar a equação (3) para encontrar . Temos:
Assim:
Logo, , o que significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Portanto, a função potencial é:
Para simplificar, podemos considerar , já que constantes adicionadas a funções potenciais não afetam o gradiente.

Passo 7

Agora, para calcular a integral de linha , podemos usar a função potencial:
Sem informações específicas sobre os pontos inicial e final da curva , a integral dependerá apenas da diferença dos valores da função potencial nesses pontos.

Resposta

A função potencial do campo vetorial é . Usando essa função potencial, a integral é igual a .

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Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Calcule , onde .
Verifique se o campo vetorial é um campo conservativo.
Calcule , sendo e , sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.