Se o campo vetorial F(x, y, z)=2 x y^3 z^4 i+3 x^2 y^2 z^4 j+4 x^2 y^3 z^3 k for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular integralC F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um campo vetorial específico . A gente precisa descobrir a função potencial desse campo, que é uma função cujo gradiente dá exatamente . Depois, com essa função potencial, vamos calcular a integral de linha . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é conservativo, ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar F = nabla phi = ( partial phipartial x ) i + ( partial phipartial y ) j + ( partial phipartial z ) k . Ou seja:
partial phipartial x = 2xy^3z^4 (1)
Então, temos que:
partial phipartial y = 3x^2y^2z^4 (2)
partial phipartial z = 4x^2y^3z^3 (3)

Passo 3

Vamos integrar a equação (1) em rela��ão a phi(x, y, z) = integral 2xy^3z^4 dx = x^2y^3z^4 + g(y, z) para encontrar :
Aqui, é uma função que depende só de e , já que a integração foi feita em relação a .

Passo 4

Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar partial phipartial y = 3x^2y^2z^4 = partialpartial y ( x^2y^3z^4 + g(y, z) ) = 3x^2y^2z^4 + partial gpartial y . Sabemos que:
3x^2y^2z^4 = 3x^2y^2z^4 + partial gpartial y
Então:
Isso implica que , ou seja, não depende de . Portanto, , onde é uma função de apenas.

Passo 5

Agora, vamos usar a equação (3) para encontrar partial phipartial z = 4x^2y^3z^3 = partialpartial z ( x^2y^3z^4 + h(z) ) = 4x^2y^3z^3 + dhdz . Temos:
4x^2y^3z^3 = 4x^2y^3z^3 + dhdz
Assim:
Logo, , o que significa que é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 6

Portanto, a função potencial phi(x, y, z) = x^2y^3z^4 + C é:
Para simplificar, podemos considerar , já que constantes adicionadas a funções potenciais não afetam o gradiente.

Passo 7

Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr = phi(ponto final) - phi(ponto inicial) , podemos usar a função potencial:
Sem informações específicas sobre os pontos inicial e final da curva , a integral dependerá apenas da diferença dos valores da função potencial nesses pontos.

Resposta

A função potencial do campo vetorial é . Usando essa função potencial, a integral é igual a .

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