Se o campo vetorial
for um campo conservativo, calcule a função potencial deste campo e use a função potencial para calcular
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente trabalhar com um campo vetorial específico
. A gente precisa descobrir a função potencial desse campo, que é uma função cujo gradiente dá exatamente
. Depois, com essa função potencial, vamos calcular a integral de linha
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como campos conservativos e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se um campo vetorial é conservativo, ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar
. Ou seja:
Então, temos que:
Passo 3
Vamos integrar a equação (1) em rela��ão a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende só de
e
, já que a integração foi feita em relação a
.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação (2) para encontrar
. Sabemos que:
Então:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
. Portanto,
, onde
é uma função de
apenas.
Passo 5
Agora, vamos usar a equação (3) para encontrar
. Temos:
Assim:
Logo,
, o que significa que
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 6
Portanto, a função potencial
é:
Para simplificar, podemos considerar
, já que constantes adicionadas a funções potenciais não afetam o gradiente.
Passo 7
Agora, para calcular a integral de linha
, podemos usar a função potencial:
Sem informações específicas sobre os pontos inicial e final da curva
, a integral dependerá apenas da diferença dos valores da função potencial nesses pontos.
Resposta
A função potencial do campo vetorial é
. Usando essa função potencial, a integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.
Calcule
, onde
.
Verifique se o campo vetorial
é um campo conservativo.
Calcule
, sendo
e
, sem utilizar o Teorema fundamental das Integrais de Linha.