Calcule:
, onde
e
é dada pela função vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
estão definidos. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral de linha
calcula o trabalho que o campo
realiza ao longo da curva
. Para isso, precisamos parametrizar a curva e substituir na expressão do campo.
Passo 3
A curva
é dada pela função vetorial
, onde
varia de
a
. Isso significa que cada ponto na curva é determinado por um valor de
dentro desse intervalo.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto:
Passo 5
Agora, substituímos as componentes de
na expressão do campo
:
Passo 6
A próxima etapa é calcular o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, integramos essa expressão em relação a
de
a
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Verifique que as identidades abaixo são verdadeiras para todo
. (b)
.
Calcule a integral
Determine a função potencial