Calcule: , onde e
é dada pela função vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral de linha calcula o trabalho que o campo realiza ao longo da curva . Para isso, precisamos parametrizar a curva e substituir na expressão do campo.

Passo 3

A curva é dada pela função vetorial , onde varia de a . Isso significa que cada ponto na curva é determinado por um valor de dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto:

Passo 5

Agora, substituímos as componentes de na expressão do campo :

Passo 6

A próxima etapa é calcular o produto escalar :
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão em relação a de a :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

e para
Verifique que as identidades abaixo são verdadeiras para todo . (b) .
e a curva que une os pontos até .
Calcule a integral .
e a curva que une os pontos até .
Determine a função potencial e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).