Calcule: integralC F cdot d r, onde F(x, y, z)=x^2 i+x y j+z^2 k e
C é dada pela função vetorial r(t)=sen(t) i+cos (t) j+t^2 k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A integral de linha calcula o trabalho que o campo realiza ao longo da curva . Para isso, precisamos parametrizar a curva e substituir na expressão do campo.

Passo 3

A curva é dada pela função vetorial , onde varia de a . Isso significa que cada ponto na curva é determinado por um valor de dentro desse intervalo.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada de drdt = cos(t) i - sin(t) j + 2t k em relação a , que é . Isso nos dá o vetor tangente à curva em cada ponto:

Passo 5

Agora, substituímos as componentes de F(r(t)) = (sin(t))^2 i + sin(t)cos(t) j + (t^2)^2 k = sin^2(t) i + sin(t)cos(t) j + t^4 k na expressão do campo :

Passo 6

A próxima etapa é calcular o produto escalar F cdot drdt = sin^2(t) cdot cos(t) + sin(t)cos(t) cdot (-sin(t)) + t^4 cdot 2t :
= sin^2(t)cos(t) - sin^2(t)cos(t) + 2t^5 = 2t^5
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, integramos essa expressão em relação a integral0^2pi 2t^5 dt = 2 integral0^2pi t^5 dt = 2 [ t^66 ]0^2pi = 26 ( (2pi)^6 - 0 ) = 13 (64 pi^6) = 643 pi^6 de a :

Resposta

A integral é igual a .

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