Verifique que as identidades abaixo são verdadeiras para todo . (b) .

Passo 1

Então, temos que verificar se a seguinte identidade trigonométrica é verdadeira para todo :
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas, como as identidades pitagóricas e as identidades de funções recíprocas.

Passo 2

Vamos começar lembrando das identidades trigonométricas básicas:
  1. Identidade pitagórica para seno e cosseno:
  1. Identidades das funções recíprocas:
Vamos usar essas identidades para transformar os termos da equação original.

Passo 3

Primeiro, vamos reescrever e usando suas definições:

Passo 4

Agora, vamos reescrever e :

Passo 5

Substituindo essas expressões na identidade original, temos:

Passo 6

Vamos simplificar ambos os lados da equação:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:

Passo 7

Observamos que:
Isso ocorre porque, usando a identidade , podemos manipular as expressões para mostrar que as duas frações são iguais.

Passo 8

Portanto, ambos os lados da equação simplificada são iguais:

Resposta

Concluímos que a identidade é verdadeira para todo .

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Resolva em as equações e inequações a seguir: (g) .
Esboce o gráfico das funções a seguir: (b) .
e para
Calcule: , onde e
é dada pela função vetorial .