Verifique que as identidades abaixo são verdadeiras para todo
. (b)
.
Passo 1
Então, temos que verificar se a seguinte identidade trigonométrica é verdadeira para todo
:
Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas, como as identidades pitagóricas e as identidades de funções recíprocas.
Passo 2
Vamos começar lembrando das identidades trigonométricas básicas:
- Identidade pitagórica para seno e cosseno:
- Identidades das funções recíprocas:
Vamos usar essas identidades para transformar os termos da equação original.
Passo 3
Primeiro, vamos reescrever
e
usando suas definições:
Passo 4
Agora, vamos reescrever
e
:
Passo 5
Substituindo essas expressões na identidade original, temos:
Passo 6
Vamos simplificar ambos os lados da equação:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
Passo 7
Observamos que:
Isso ocorre porque, usando a identidade
, podemos manipular as expressões para mostrar que as duas frações são iguais.
Passo 8
Portanto, ambos os lados da equação simplificada são iguais:
Resposta
Concluímos que a identidade
é verdadeira para todo
.
Exercícios relacionados
Resolva em
as equações e inequações a seguir: (g)
.
Esboce o gráfico das funções a seguir: (b)
.
Calcule:
, onde
e
é dada pela função vetorial
.