Dados F(x, y) = (y^2/x^2) i - (2y/x) j e C a curva x = y^2 que une os pontos 1,1 até (4,2).
Determine a função potencial f(x, y) e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função potencial da força vetorial e, depois, usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo da curva C definida por , que vai do ponto 1,1 até (4,2). Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais, além de saber como calcular integrais de linha usando essas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial f(x, y) tal que , ou seja:
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição necessária para ser conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de F:
Calculando :
Calculando :
Como , o campo F é conservativo. Portanto, existe uma função potencial f(x, y) tal que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial f(x, y). Sabemos que:
Integrando em relação a x:
Onde g(y) é uma função arbitrária de y. Para encontrar g(y), derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos a :
Assim, , o que implica g(y) é uma constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial , podemos calcular a integral de linha da força vetorial F ao longo da curva C usando o teorema fundamental das integrais de linha:
Calculando :
Calculando :

Resposta

A integral da força vetorial F ao longo da curva C é:

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