e a curva que une os pontos até .
Determine a função potencial e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função potencial da força vetorial e, depois, usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo da curva definida por , que vai do ponto até . Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais, além de saber como calcular integrais de linha usando essas funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que , ou seja:
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição necessária para ser conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Calculando :
Calculando :
Como , o campo é conservativo. Portanto, existe uma função potencial tal que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de . Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos a :
Assim, , o que implica é uma constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial , podemos calcular a integral de linha da força vetorial ao longo da curva usando o teorema fundamental das integrais de linha:
Calculando :
Calculando :

Resposta

A integral da força vetorial ao longo da curva é:

Exercícios relacionados

e a curva que une os pontos até .
Calcule a integral .
Calcule: , onde e
é dada pela função vetorial .
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial .
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.