e
a curva
que une os pontos
até
.
Determine a função potencial
e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).
Determine a função potencial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função potencial da força vetorial
e, depois, usar essa função para calcular uma integral de linha ao longo da curva
definida por
, que vai do ponto
até
. Para isso, vamos precisar entender sobre campos conservativos e funções potenciais, além de saber como calcular integrais de linha usando essas funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
, ou seja:
Além disso, para campos bidimensionais, uma condição necessária para ser conservativo é que as derivadas cruzadas sejam iguais:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Calculando
:
Calculando
:
Como
, o campo
é conservativo. Portanto, existe uma função potencial
tal que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Assim,
, o que implica
é uma constante. Podemos considerar essa constante igual a zero para simplificar. Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial
, podemos calcular a integral de linha da força vetorial
ao longo da curva
usando o teorema fundamental das integrais de linha:
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral da força vetorial
ao longo da curva
é:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
Calcule:
, onde
e
é dada pela função vetorial
.
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial
.
No problema correspondente a você, encontre todos os pontos singulares da equação dada e determine se cada um deles é regular ou irregular (justifique se o limite existir ou se não existir, de forma que não pareça que os resultados chegaram por arte de mágica):
.