Dados F(x, y)=(y^2x^2) i-(2 yx) j e C a curva x=y^2 que une os pontos (1,1) até (4,2).
Calcule a integral integralC F cdot d r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial F(x, y)=(y^2x^2) i-(2 yx) j e uma curva C definida por x = y^2 que vai do ponto (1,1) até (4,2). A nossa missão é calcular a integral de linha integralC F cdot d r. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Sabemos que x = y^2. Podemos escolher uma das variáveis como parâmetro, por exemplo, y = t. Assim, temos:
x(t) = t^2 y(t) = t
Onde t varia de 1 a 2, já que quando t=1, temos o ponto (1,1), e quando t=2, chegamos em (4,2).

Passo 3

Agora, precisamos calcular dr. Sabemos que r(t) = x(t)i + y(t)j = t^2i + tj. Derivando em relação a t, temos:
drdt = dxdti + dydtj = 2ti + 1j
Então, dr = (2ti + j)dt.

Passo 4

Agora, vamos substituir x(t) e y(t) na função vetorial F:
F(x(t), y(t)) = (t^2(t^2)^2)i - (2tt^2)j = (t^2t^4)i - (2t)j = (1t^2)i - (2t)j

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F cdot dr:
F cdot dr = (1t^2i - 2tj) cdot (2ti + j) = 1t^2 cdot 2t + (-2t) cdot 1 = 2t - 2t = 0

Passo 6

Observamos que F cdot dr = 0. Isso significa que a integral de linha será simplesmente a integral de zero ao longo do intervalo de t de 1 a 2.
integral1^2 0 , dt = 0

Resposta

A integral integralC F cdot d r é igual a 0.

Exercícios relacionados