e a curva que une os pontos até .
Calcule a integral .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial e uma curva definida por que vai do ponto até . A nossa missão é calcular a integral de linha . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Sabemos que . Podemos escolher uma das variáveis como parâmetro, por exemplo, . Assim, temos:
Onde varia de 1 a 2, já que quando , temos o ponto , e quando , chegamos em .

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Sabemos que . Derivando em relação a , temos:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir e na função vetorial :

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar :

Passo 6

Observamos que . Isso significa que a integral de linha será simplesmente a integral de zero ao longo do intervalo de de 1 a 2.

Resposta

A integral é igual a .

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Calcule: , onde e
é dada pela função vetorial .
e para
e a curva que une os pontos até .
Determine a função potencial e use a função potencial para calcular a integral do ítem (a).
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial .