e
a curva
que une os pontos
até
.
Calcule a integral
.
Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial
e uma curva
definida por
que vai do ponto
até
. A nossa missão é calcular a integral de linha
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Sabemos que
. Podemos escolher uma das variáveis como parâmetro, por exemplo,
. Assim, temos:
Onde
varia de 1 a 2, já que quando
, temos o ponto
, e quando
, chegamos em
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Sabemos que
. Derivando em relação a
, temos:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na função vetorial
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Observamos que
. Isso significa que a integral de linha será simplesmente a integral de zero ao longo do intervalo de
de 1 a 2.
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule:
, onde
e
é dada pela função vetorial
.
Determine a função potencial
Uma equação que modela o crescimento populacional é a equação de Gompertz,
onde r e K são constantes positivas. Resolva a equação de Gompertz sujeita a condição inicial
.