Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado acima, pelo plano
e abaixo por
. Conclua que o volume será de
u.v.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele canto onde x, y e z são positivos). Ele é limitado acima pelo plano
e abaixo pela superfície
. Vamos usar cálculo, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a região que estamos lidando. Como estamos no primeiro octante, sabemos que
,
e
. A superfície
nos dá um limite para
em termos de
. Vamos desenhar essa curva no plano xy para ver quais são os limites de integração.
Passo 3
Vamos determinar os limites de
. Como
deve ser não negativa (porque estamos no primeiro octante), temos:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 4
Para cada valor de
entre 0 e 2,
varia de 0 até
. Agora que temos os limites para
e
, podemos configurar a integral dupla para encontrar o volume.
Passo 5
O volume
pode ser calculado pela integral dupla de
, que aqui é
, sobre a região definida:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a
:
Passo 7
Agora, simplificamos a expressão:
Portanto:
Passo 8
Agora, a integral para
fica:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Avaliaremos de 0 a 2:
Substituindo
:
Simplificando:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
(0,5) Use a integração dupla para calcular a área da região do plano
compreendida entre os gráficos das funções
e
, (esboçar o gráfico da região.). Conclua que o resultado será
.
Calcule
com
e
de
a
.
Nos Problemas 31 e 32,
é um ponto singular regular da equação diferencial indicada. Mostre que as raízes indiciais da singularidade diferem por um inteiro. Use a relação de recorrência determinada pelo método de Frobenius primeiro com a maior raiz
. Quantas soluções você obteve? A seguir, use a relação de recorrência com a menor raiz
. Quantas soluções você obteve?
Escrever cada expressão abaixo como um único logaritmo na base 2 .