Calcule o volume do sólido no primeiro octante delimitado acima, pelo plano e abaixo por . Conclua que o volume será de u.v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido que está no primeiro octante (aquele canto onde x, y e z são positivos). Ele é limitado acima pelo plano e abaixo pela superfície . Vamos usar cálculo, especificamente integrais múltiplas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a região que estamos lidando. Como estamos no primeiro octante, sabemos que , e . A superfície nos dá um limite para em termos de . Vamos desenhar essa curva no plano xy para ver quais são os limites de integração.

Passo 3

Vamos determinar os limites de . Como deve ser não negativa (porque estamos no primeiro octante), temos:
Então, varia de 0 a 2.

Passo 4

Para cada valor de entre 0 e 2, varia de 0 até . Agora que temos os limites para e , podemos configurar a integral dupla para encontrar o volume.

Passo 5

O volume pode ser calculado pela integral dupla de , que aqui é , sobre a região definida:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, integrando em relação a :

Passo 7

Agora, simplificamos a expressão:
Portanto:

Passo 8

Agora, a integral para fica:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 9

Avaliaremos de 0 a 2:
Substituindo :
Simplificando:
Vamos encontrar um denominador comum, que é 15:
Então:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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