Calcule
, conforme
e
definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b)
, onde
é qualquer caminho do ponto
ao ponto
.
(b)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é definido por
. A curva
conecta os pontos
a
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, onde
representa o gradiente de
. Se o campo for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido.
Passo 3
Para confirmar se
é conservativo, comparamos as derivadas parciais das componentes do campo:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que surge da integração. Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos à componente
:
Isso implica que:
Integrando
em relação a
:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha utilizando a diferença dos valores de
nos pontos final e inicial:
Calculando
:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
A integral de linha é aproximadamente
.