Calcule integralC F d r, conforme F e C definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b) F(x, y)=2 x e^-y i+(2 y-x^2 e^-y) j, onde C é qualquer caminho do ponto (1,0) ao ponto (2,1).

Passo 1

Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos calcular a integral de linha integralC F , dr, onde o campo vetorial é definido por F(x, y) = 2x e^-y i + (2 y - x^2 e^-y) j. A curva C conecta os pontos (1,0) a (2,1). Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial phi(x, y) tal que F = nabla phi, onde nabla phi representa o gradiente de phi. Se o campo for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido.

Passo 3

Para confirmar se F é conservativo, comparamos as derivadas parciais das componentes do campo:
partial Fxpartial y = partialpartial y(2x e^-y) = -2x e^-y
partial Fypartial x = partialpartial x(2 y - x^2 e^-y) = -2x e^-y
Como partial Fxpartial y = partial Fypartial x, o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial phi(x, y). Sabemos que:
partial phipartial x = 2x e^-y
Integrando em relação a x:
phi(x, y) = integral 2x e^-y , dx = x^2 e^-y + h(y)
Onde h(y) é uma função de y que surge da integração. Para encontrar h(y), derivamos phi(x, y) em relação a y e igualamos à componente Fy:
partial phipartial y = -x^2 e^-y + h'(y) = 2 y - x^2 e^-y
Isso implica que:
h'(y) = 2 y
Integrando h'(y) em relação a y:
h(y) = y^2 + C
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y) = x^2 e^-y + y^2 + C

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha utilizando a diferença dos valores de phi nos pontos final e inicial:
integralC F , dr = phi(2,1) - phi(1,0)
Calculando phi(2,1):
phi(2,1) = (2)^2 e^-1 + (1)^2 = 4 e^-1 + 1 approx 4 times 0,3679 + 1 approx 1,4716 + 1 = 2,4716
Calculando phi(1,0):
phi(1,0) = (1)^2 e^0 + (0)^2 = 1 + 0 = 1
Portanto:
integralC F , dr = 2,4716 - 1 = 1,4716

Resposta

A integral de linha é aproximadamente 1,47.

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