Calcule , conforme e definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b) , onde é qualquer caminho do ponto ao ponto .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado do exercício. Precisamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é definido por . A curva conecta os pontos a . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que , onde representa o gradiente de . Se o campo for conservativo, a integral de linha dependerá apenas dos pontos inicial e final, não do caminho escolhido.
Passo 3
Para confirmar se é conservativo, comparamos as derivadas parciais das componentes do campo:
Como , o campo é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que surge da integração. Para encontrar , derivamos em relação a e igualamos à componente :
Isso implica que:
Integrando em relação a :
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, podemos calcular a integral de linha utilizando a diferença dos valores de nos pontos final e inicial: