Determine uma função tal que e calcule , onde e é dada pela função vetorial . (Valor: 1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente dessa função, ou seja, . Depois disso, precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva definida por uma função vetorial . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais, além de calcular integrais de linha. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função escalar cuja derivada em cada direção nos dá os componentes de . Para encontrar , vamos integrar cada componente de em relação à sua respectiva variável.

Passo 3

A função é dada por:
Vamos encontrar tal que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Integrando a primeira equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende de e , já que a derivada em relação a eliminou qualquer termo que não dependesse de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação . A derivada da que encontramos com relação a é:
Isso implica que , ou seja, não depende de . Portanto, , onde é uma função somente de .

Passo 6

Vamos usar a terceira equação . A derivada da que temos é:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 7

Assim, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para fins de cálculo da integral de linha.

Passo 8

Agora, para calcular a integral de linha , já que é o gradiente de , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos diz que:
Vamos encontrar e .

Passo 9

A curva é dada por , para .
Para :
Então,
Para :
Então, (\varphi(\mathbf{r}(2)) = y e^{x z} = 3 e^{5 \cdot 0} = 3
]

Resposta

A integral de linha vale .

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