Determine uma função
tal que
e calcule
, onde
e
é dada pela função vetorial
. (Valor: 1,5)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função
tal que o campo vetorial
seja o gradiente dessa função, ou seja,
. Depois disso, precisamos calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida por uma função vetorial
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais, além de calcular integrais de linha. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
. Isso quer dizer que
é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função escalar
cuja derivada em cada direção nos dá os componentes de
. Para encontrar
, vamos integrar cada componente de
em relação à sua respectiva variável.
Passo 3
A função
é dada por:
Vamos encontrar
tal que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 4
Integrando a primeira equação em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
, já que a derivada em relação a
eliminou qualquer termo que não dependesse de
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação
. A derivada da
que encontramos com relação a
é:
Isso implica que
, ou seja,
não depende de
. Portanto,
, onde
é uma função somente de
.
Passo 6
Vamos usar a terceira equação
. A derivada da
que temos é:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Vamos chamar essa constante de
.
Passo 7
Assim, a função potencial
é:
Podemos ignorar a constante
para fins de cálculo da integral de linha.
Passo 8
Agora, para calcular a integral de linha
, já que
é o gradiente de
, podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos diz que:
Vamos encontrar
e
.
Passo 9
A curva
é dada por
, para
.
Para
:
Então,
Para
:
Então, (\varphi(\mathbf{r}(2)) = y e^{x z} = 3 e^{5 \cdot 0} = 3
]
]
Resposta
A integral de linha
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
, conforme
e
definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b) , onde
é qualquer caminho do ponto
ao ponto
.
(b)
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deira ou falsa. Explique sua resposta.
56. A integral sect
equivalente a uma cujo integrando
polinôtrio
.
deira ou falsa. Explique sua resposta.
56. A integral
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, conforme
e
definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
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é dada pela função vetorial
.
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. (Valor: 1,5)