Determine uma função varphi tal que F=nabla varphi e calcule integralC F d r, onde F(x, y)=y z e^x z i+e^x z j+ x y e^x z k e C é dada pela função vetorial r(t)=(t^2+1) i+(t^2-1) j+(t^2-2 t) k, 0 <= t <= 2. (Valor: 1,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar uma função tal que o campo vetorial seja o gradiente dessa função, ou seja, . Depois disso, precisamos calcular a integral de linha , onde é uma curva definida por uma função vetorial . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de campos vetoriais conservativos e potenciais, além de calcular integrais de linha. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que . Isso quer dizer que é um campo vetorial conservativo, ou seja, existe uma função escalar cuja derivada em cada direção nos dá os componentes de . Para encontrar , vamos integrar cada componente de em relação à sua respectiva variável.

Passo 3

A função F(x, y, z) = y z e^x z i + e^x z j + x y e^x z k é dada por:
partial varphipartial x = y z e^x z, partial varphipartial y = e^x z, partial varphipartial z = x y e^x z
Vamos encontrar tal que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar .

Passo 4

Integrando a primeira equação em relação a varphi(x, y, z) = integral y z e^x z , dx = y z cdot e^x zz + g(y, z) = y e^x z + g(y, z) :
Aqui, é uma função que depende de e , já que a derivada em relação a eliminou qualquer termo que não dependesse de .

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda equação partial varphipartial y = e^x z + partial gpartial y = e^x z . A derivada da que encontramos com relação a é:
Isso implica que , ou seja, não depende de . Portanto, , onde é uma função somente de .

Passo 6

Vamos usar a terceira equação partial varphipartial z = y x e^x z + d hd z = x y e^x z . A derivada da que temos é:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Vamos chamar essa constante de .

Passo 7

Assim, a função potencial varphi(x, y, z) = y e^x z + C é:
Podemos ignorar a constante para fins de cálculo da integral de linha.

Passo 8

Agora, para calcular a integral de linha integralC F , dr = varphi(r(2)) - varphi(r(0)) , já que é o gradiente de , podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, que nos diz que:
Vamos encontrar e .

Passo 9

A curva r(0) = (0 +1)i + (0 -1)j + (0 -0)k = i - j é dada por r(2) = (4 +1)i + (4 -1)j + (4 -4)k = 5i + 3j + 0k , para .
Para :
Então,
Para :
Então, (\varphi(\mathbf{r}(2)) = y e^{x z} = 3 e^{5 \cdot 0} = 3
]

Resposta

A integral de linha vale .

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