(b) Mostre que o resultado de (a) também pode ser escrito como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede pra mostrar que a integral de pode ser escrita de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, especialmente envolvendo e .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar . A função é igual a . Integrar essa função não é tão direto, então vamos usar uma técnica de multiplicar e dividir por uma expressão conveniente para simplificar.
Passo 3
Vamos multiplicar e dividir a integral por integral cosec x , dx = integral cosec x (cosec x + cotg x)cosec x + cotg x , dx , que é . Isso nos ajuda a preparar a integral para uma substituição mais fácil. Ficamos com:
Passo 4
Agora, observe que o numerador u = cosec x + cotg x é a derivada do denominador . Isso significa que podemos usar uma substituição simples. Vamos chamar:
Então,
Passo 5
Rearranjando, temos integral -duu = -ln |u| + C . Substituindo na integral, fica:
-ln |cosec x + cotg x| + C
Voltando para , obtemos:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a mesma integral pode ser escrita de outras formas. A primeira forma é substituir o sinal dentro do logaritmo:
integral cosec x , dx = ln |cosec x - cotg x| + C
Isso acontece porque , então podemos ajustar o sinal dentro do logaritmo.
Passo 7
A segunda forma envolve uma identidade trigonom��trica que relaciona integral cosec x , dx = ln | tan x2 | + C e com a tangente do meio ângulo:
Isso é derivado de substituições trigonométricas que simplificam a integral para uma forma envolvendo .
Resposta
integral cosec x , dx &= -ln |cosec x + cotg x| + C integral cosec x , dx &= ln |cosec x - cotg x| + C integral cosec x , dx &= ln | tan x2 | + C