ENFOCANDO CONCEITOS
65. (a) Mostre que
(b) Mostre que o resultado de (a) também pode ser escrito como

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede pra mostrar que a integral de pode ser escrita de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, especialmente envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar . A função é igual a . Integrar essa função não é tão direto, então vamos usar uma técnica de multiplicar e dividir por uma expressão conveniente para simplificar.

Passo 3

Vamos multiplicar e dividir a integral por , que é . Isso nos ajuda a preparar a integral para uma substituição mais fácil. Ficamos com:

Passo 4

Agora, observe que o numerador é a derivada do denominador . Isso significa que podemos usar uma substituição simples. Vamos chamar:
Então,

Passo 5

Rearranjando, temos . Substituindo na integral, fica:
Voltando para , obtemos:

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a mesma integral pode ser escrita de outras formas. A primeira forma é substituir o sinal dentro do logaritmo:
Isso acontece porque , então podemos ajustar o sinal dentro do logaritmo.

Passo 7

A segunda forma envolve uma identidade trigonom��trica que relaciona e com a tangente do meio ângulo:
Isso é derivado de substituições trigonométricas que simplificam a integral para uma forma envolvendo .

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e inteiros nhio negativos e dietintos. Use as Formulas (16) a (18) para provar:
(a) (b) © .
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada 6 verda-
deira ou falsa. Explique sua resposta.
56. A integral sect equivalente a uma cujo integrando polinôtrio .
Calcule , conforme e definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b) , onde é qualquer caminho do ponto ao ponto .