(b) Mostre que o resultado de (a) também pode ser escrito como
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede pra mostrar que a integral de pode ser escrita de duas maneiras diferentes. Para isso, vamos precisar entender como integrar funções trigonométricas, especialmente envolvendo e .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a). Queremos encontrar . A função é igual a . Integrar essa função não é tão direto, então vamos usar uma técnica de multiplicar e dividir por uma expressão conveniente para simplificar.
Passo 3
Vamos multiplicar e dividir a integral por , que é . Isso nos ajuda a preparar a integral para uma substituição mais fácil. Ficamos com:
Passo 4
Agora, observe que o numerador é a derivada do denominador . Isso significa que podemos usar uma substituição simples. Vamos chamar:
Então,
Passo 5
Rearranjando, temos . Substituindo na integral, fica:
Voltando para , obtemos:
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que a mesma integral pode ser escrita de outras formas. A primeira forma é substituir o sinal dentro do logaritmo:
Isso acontece porque , então podemos ajustar o sinal dentro do logaritmo.
Passo 7
A segunda forma envolve uma identidade trigonom��trica que relaciona e com a tangente do meio ângulo:
Isso é derivado de substituições trigonométricas que simplificam a integral para uma forma envolvendo .