Calcule , conforme e definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(a) , onde é dada pela função vetorial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva é definida pela função vetorial para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A função vetorial já está parametrizada em termos de , onde varia de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização na função para obter .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre e :

Passo 6

A integral de linha então fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, :
Segundo, :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Terceiro, :
Usamos a identidade .

Passo 8

Somando todos os resultados:

Resposta

A integral de linha é .

Exercícios relacionados

Determine uma função tal que e calcule , onde e é dada pela função vetorial . (Valor: 1,5)
Calcule , conforme e definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(b) , onde é qualquer caminho do ponto ao ponto .
Determine o volume do sólido que está limitado acima pela parte da esfera definida por , abaixo pelo plano e lateralmente pelo cilindro . (Valor: 1,5)
Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.