Calcule , conforme e definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(a) , onde é dada pela função vetorial .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva é definida pela função vetorial para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . A função vetorial já está parametrizada em termos de , onde varia de a .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva.
Passo 4
Em seguida, substituímos a parametrização na função para obter .
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar entre e :
Passo 6
A integral de linha então fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, :
Segundo, integral sin t cos t , dt = 12 integral sin 2t , dt = -14 cos 2t |0^pi = -14 (cos 2pi - cos 0) = -14 (1 - 1) = 0 :