Calcule integralC F d r, conforme F e C definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(a) F(x, y)=x^2 i+(x-y) j, onde C é dada pela função vetorial r(t)=t i+sent j, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado por . A curva é definida pela função vetorial para . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a curva e aplicar a fórmula da integral de linha para campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . A função vetorial já está parametrizada em termos de , onde varia de a .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r'(t) = ddt [t i + sin t j] = i + cos t j em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva.

Passo 4

Em seguida, substituímos a parametrização F(r(t)) = F(t, sin t) = t^2 i + (t - sin t) j na função para obter .

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar entre F(r(t)) cdot r'(t) = (t^2) cdot 1 + (t - sin t) cdot cos t = t^2 + t cos t - sin t cos t e :

Passo 6

A integral de linha então fica:
integralC F , dr = integral0^pi ( t^2 + t cos t - sin t cos t ) dt

Passo 7

Vamos resolver a integral termo a termo.
Primeiro, integral t^2 dt = t^33 |0^pi = pi^33 :
integral t cos t , dt = t sin t - integral sin t , dt = t sin t + cos t |0^pi = pi sin pi + cos pi - (0 cdot sin 0 + cos 0) = -1 -1 = -2
Segundo, integral sin t cos t , dt = 12 integral sin 2t , dt = -14 cos 2t |0^pi = -14 (cos 2pi - cos 0) = -14 (1 - 1) = 0 :
Usamos integração por partes, onde e . Então, e .
Terceiro, :
Usamos a identidade .

Passo 8

Somando todos os resultados:
integralC F , dr = pi^33 - 2 + 0 = pi^33 - 2

Resposta

A integral de linha é .

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