Determine o volume do sólido que está limitado acima pela parte da esfera definida por , abaixo pelo plano e lateralmente pelo cilindro . (Valor: 1,5)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para determinar o volume de um sólido limitado acima por uma parte de uma esfera definida por , abaixo pelo plano e lateralmente por um cilindro definido por . Para resolver isso, vamos precisar usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas, onde:
A equação da esfera fica:
A equação do cilindro fica:
E o plano corresponde a .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração:
  • varia de a para cobrir toda a volta ao redor do cilindro.
  • varia de a , que é o raio do cilindro.
  • varia de (plano ) até (superfície da esfera).

Passo 4

A integral tripla para o volume é dada por:
Aqui, é o fator de escala que aparece devido à mudança para coordenadas cilíndricas.

Passo 5

Vamos resolver a integral em primeiro:
Agora, substituindo na integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral em :
Fazendo a substituição:
  • Seja , então ou
A integral se torna:
Resolvendo:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral em :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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