Determine o volume do sólido que está limitado acima pela parte da esfera definida por
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelo cilindro
. (Valor: 1,5)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume utilizando coordenadas cilíndricas. O enunciado pede para determinar o volume de um sólido limitado acima por uma parte de uma esfera definida por
, abaixo pelo plano
e lateralmente por um cilindro definido por
. Para resolver isso, vamos precisar usar integrais triplas em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações dadas para coordenadas cilíndricas, onde:
A equação da esfera fica:
A equação do cilindro fica:
E o plano
corresponde a
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração:
-
varia de a para cobrir toda a volta ao redor do cilindro. -
varia de a , que é o raio do cilindro. -
varia de (plano ) até (superfície da esfera).
Passo 4
A integral tripla para o volume
é dada por:
Aqui,
é o fator de escala que aparece devido à mudança para coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Agora, substituindo na integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral em
:
Fazendo a substituição:
- Seja
, então ou
A integral se torna:
Resolvendo:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, conforme
e
definidos abaixo. (Valor: 3,0 )
(a) , onde
é dada pela função vetorial
.
(a)
Determine uma função
tal que
e calcule
, onde
e
é dada pela função vetorial
. (Valor: 1,5)
Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.