Calcule , onde é o campo vetorial e é a curva com orientação positiva que contorna o quadrado de vértices , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é o contorno positivo de um quadrado com vértices em , , e . Vamos usar o conceito de Teorema de Green para facilitar nossa vida aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, ele diz:
Onde e são as componentes do campo vetorial .
Passo 3
No nosso caso, temos e . Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a diferença fica:
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o quadrado com vértices em , , e . Os limites de integração para e vão de 0 a 2:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^2 2(1 - 2y) , dy = 2 integral0^2 (1 - 2y) , dy