Calcule integralC F d r, onde F é o campo vetorial F(x, y)=y^2 i+x j e C é a curva com orientação positiva que contorna o quadrado de vértices (0,0), (2,0),(2,2) e (0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y) = y^2 i + x j. A curva C é o contorno positivo de um quadrado com vértices em (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2). Vamos usar o conceito de Teorema de Green para facilitar nossa vida aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Matematicamente, ele diz:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde P e Q são as componentes do campo vetorial F = P i + Q j.

Passo 3

No nosso caso, temos P = y^2 e Q = x. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x(x) = 1
partial Ppartial y = partialpartial y(y^2) = 2y
Então, a diferença fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - 2y

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla sobre a região D, que é o quadrado com vértices em (0,0), (2,0), (2,2) e (0,2). Os limites de integração para x e y vão de 0 a 2:
integral duplaD (1 - 2y) , dA = integral0^2 integral0^2 (1 - 2y) , dx , dy

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a x:
integral0^2 (1 - 2y) , dx = (1 - 2y) cdot x g|0^2 = 2(1 - 2y)

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral0^2 2(1 - 2y) , dy = 2 integral0^2 (1 - 2y) , dy
= 2 [ y - y^2 ]0^2 = 2 [ (2 - 4) - (0 - 0) ] = 2 cdot (-2) = -4

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr vale -4.

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