Calcule as seguintes integrais duplas:
(a) integral0^1 integral0^1 y(x-y^2)^4 d x d y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral dupla . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções polinomiais e como tratar as integrais iteradas, ou seja, integrar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integração em relação a . A integral interna é . Como é tratado como uma constante em relação a , podemos simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Então, a derivada de em relação a é . Quando , e quando , .

Passo 4

Com a substituição, a integral interna fica:
integralu=-y^2^u=1 - y^2 y cdot u^4 du
Agora, podemos integrar y cdot [ u^55 ]-y^2^1 - y^2 em relação a :

Passo 5

Vamos calcular os limites:
y cdot ( (1 - y^2)^55 - (-y^2)^55 ) = y cdot (1 - y^2)^5 - (-y^2)^55
Note que y cdot (1 - y^2)^5 + y^105 , então:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 y5 ( (1 - y^2)^5 + y^10 ) dy = 15 integral0^1 y ( (1 - y^2)^5 + y^10 ) dy
Podemos separar a integral em duas partes:
15 ( integral0^1 y (1 - y^2)^5 dy + integral0^1 y cdot y^10 dy ) = 15 ( I1 + I2 )

Passo 7

Vamos resolver I1 = integralv=1^v=0 -12 v^5 dv = 12 integral0^1 v^5 dv = 12 cdot v^66 g|0^1 = 112 . Novamente, fazemos uma substituição: deixe , então , ou seja, . Quando , e quando , .
Assim:

Passo 8

Agora, resolvemos

Passo 9

Voltando à expressão original:
15 (I1 + I2) = 15 ( 112 + 112 ) = 15 cdot 212 = 15 cdot 16 = 130

Resposta

A integral dupla vale .

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