Calcule integralC F d r, onde F(x, y, z)=x y i+y z j+z x k e C é a cúbica retorcida dada por
x=t, y=t^2 e z=t^3, 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é parametrizada por , , com indo de 0 até 1. Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = t, y(t) = t^2, z(t) = t^3, 0 <= t <= 1 usando o parâmetro . Já temos as equações paramétricas:

Passo 3

Agora, vamos expressar o vetor posição r(t) = x(t), i + y(t), j + z(t), k = t, i + t^2, j + t^3, k e calcular sua derivada em relação a drdt = dxdt, i + dydt, j + dzdt, k = 1, i + 2t, j + 3t^2, k , que nos dará :

Passo 4

Vamos substituir as expressões paramétricas de F(t) = x(t) y(t), i + y(t) z(t), j + z(t) x(t), k = t cdot t^2, i + t^2 cdot t^3, j + t^3 cdot t, k = t^3, i + t^5, j + t^4, k , e no campo vetorial :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(t) cdot drdt = t^3 cdot 1 + t^5 cdot 2t + t^4 cdot 3t^2 = t^3 + 2t^6 + 3t^6 = t^3 + 5t^6 :

Passo 6

Por fim, integramos essa expressão em relação a integral0^1 (t^3 + 5t^6), dt = [t^44 + 5t^77]0^1 = 14 + 57 = 728 + 2028 = 2728 de 0 a 1:

Resposta

O valor da integral é .

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