Resolva a Equação de Bernoulli

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que você mandou:
Primeiro, vamos entender do que estamos lidando aqui. Essa é uma Equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A gente vai precisar transformar essa equação para uma forma que seja mais fácil de resolver, usando uma substituição. Vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar separando os termos para colocar a equação na forma padrão da Equação de Bernoulli:
Dividindo ambos os lados da equação original por , temos:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, para resolver a Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. A substituição que usamos é:
Substituindo , fica:

Passo 4

Vamos derivar em relação a :
Agora, isolamos :

Passo 5

Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos:

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para ficar na forma linear padrão:
Isso ficou assim porque dividimos todos os termos por .

Passo 7

Agora, resolvemos essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Para isolar , elevamos ambos os lados à potência de :

Resposta

A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule , onde e C é a cúbica retorcida dada por
Use a parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g)
Seja . é diferenciável em ? é contínua em ?