Resolva a Equação de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que você mandou:
Primeiro, vamos entender do que estamos lidando aqui. Essa é uma Equação de Bernoulli, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A gente vai precisar transformar essa equação para uma forma que seja mais fácil de resolver, usando uma substituição. Vamos nessa!
Passo 2
Vamos começar separando os termos para colocar a equação na forma padrão da Equação de Bernoulli:
Dividindo ambos os lados da equação original por
, temos:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, para resolver a Equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição para transformar a equação não linear em uma linear. A substituição que usamos é:
Substituindo
, fica:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para ficar na forma linear padrão:
Isso ficou assim porque dividimos todos os termos por
.
Passo 7
Agora, resolvemos essa equação linear usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Para isolar
, elevamos ambos os lados à potência de
:
Resposta
A solução geral da equação de Bernoulli é:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule
, onde
e C é a cúbica retorcida dada por
Use a
parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g)
(g)
Seja
.
é diferenciável em
?
é contínua em
?