(g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é dada por .
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito da equação, temos , que é similar às soluções da equação homogênea. Nesse caso, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar termos que já estão na solução homogênea.
Vamos supor:
Derivando :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos e para encontrar os valores de e .

Passo 4

Após igualar os coeficientes, determinamos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Reescreva as expressões abaixo sem usar o símbolo de valor absoluto (separe por intervalos)
(a)
(b)
©
(d)
Verifique se cada passo na solução das inequações a seguir está correto:
(a) .
(b) .
Calcule , onde e C é a cúbica retorcida dada por
Resolva o PVI, usando o método dos fatores integrantes