Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é dada por .
Resolvendo para :
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Observando o lado direito da equação, temos , que é similar às soluções da equação homogênea. Nesse caso, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por para evitar termos que já estão na solução homogênea.
Vamos supor:
Derivando :
Substituindo e suas derivadas na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos e para encontrar os valores de e .
Passo 4
Após igualar os coeficientes, determinamos os valores de e :
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar e .