(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Para resolver isso, precisamos encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa. Depois, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, encontramos as raízes da equação característica. A equação característica é dada por
.
Resolvendo para
:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Observando o lado direito da equação, temos
, que é similar às soluções da equação homogênea. Nesse caso, precisamos multiplicar nossa tentativa de solução particular por
para evitar termos que já estão na solução homogênea.
Vamos supor:
Derivando
:
Substituindo
e suas derivadas na equação original:
Após simplificar, igualamos os coeficientes dos termos
e
para encontrar os valores de
e
.
Passo 4
Após igualar os coeficientes, determinamos os valores de
e
:
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: