Resolva o PVI, usando o método dos fatores integrantes
Passo 1
Vamos entender o que precisa ser feito. Temos um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de primeira ordem:
e a condição inicial é
. Vamos resolver essa equação usando o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por 2:
Aqui, identificamos que:
Passo 3
Agora, calculamos o fator integrante
, que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
para encontrar a solução geral:
Note que a integral
não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro (
).
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para determinar a constante
:
Simplificando:
Resposta
A solução do PVI é:
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e C é a cúbica retorcida dada por
(g)
Resolva a Equação de Bernoulli
Use a
parte do T.F.C. para calcular a integral, ou explique por que ela não existe:
(g)
(g)