Resolva o PVI, usando o método dos fatores integrantes

Passo 1

Vamos entender o que precisa ser feito. Temos um problema de valor inicial (PVI) com uma equação diferencial de primeira ordem:
e a condição inicial é . Vamos resolver essa equação usando o método dos fatores integrantes, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Para isso, dividimos toda a equação por 2:
Aqui, identificamos que:

Passo 3

Agora, calculamos o fator integrante , que é essencial para resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso simplifica para:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos para encontrar a solução geral:
Note que a integral não tem uma solução em termos de funções elementares, mas podemos expressá-la usando a função erro ( ).

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para determinar a constante :
Simplificando:

Resposta

A solução do PVI é:

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