Calcule integralC f d s, onde f e r são como indicadas abaixo:
a) f(x, y, z)=x y z ; r(t)=(t, 2 t, 3 t), 0 <= t <= 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de linha integralC f , ds, onde a função f(x, y, z) = xyz e a curva C é descrita pelo vetor posição r(t) = (t, 2t, 3t) com t variando de 0 a 2. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco ds e depois integrar a função f ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva. Já temos a parametrização fornecida: r(t) = (t, 2t, 3t) para 0 <= t <= 2. Isso significa que x = t, y = 2t e z = 3t.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a t para encontrar o vetor velocidade r'(t):
r'(t) = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (1, 2, 3)
A diferencial de arco ds é dada pelo comprimento desse vetor derivada:
ds = |r'(t)| , dt
Calculando a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + 3^2 = raiz1 + 4 + 9 = raiz14
Então, ds = raiz14 , dt.

Passo 4

Agora, vamos expressar a função f(x, y, z) = xyz em termos de t usando a parametrização:
f(t) = x(t) cdot y(t) cdot z(t) = t cdot 2t cdot 3t = 6t^3

Passo 5

Finalmente, substituímos tudo na integral de linha:
integralC f , ds = integral0^2 f(t) cdot ds = integral0^2 6t^3 cdot raiz14 , dt = 6raiz14 integral0^2 t^3 , dt
Calculando a integral:
integral0^2 t^3 , dt = [ t^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4
Multiplicando tudo:
6raiz14 cdot 4 = 24raiz14

Resposta

O valor da integral é 24raiz14.

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