Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de linha , onde a função e a curva é descrita pelo vetor posição com variando de a . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco e depois integrar a função ao longo da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva. Já temos a parametrização fornecida: para . Isso significa que , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a para encontrar o vetor velocidade :
A diferencial de arco é dada pelo comprimento desse vetor derivada:
Calculando a norma de :
Então, .

Passo 4

Agora, vamos expressar a função em termos de usando a parametrização:

Passo 5

Finalmente, substituímos tudo na integral de linha:
Calculando a integral:
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para .
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.