Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcularmos a integral de linha
, onde a função
e a curva
é descrita pelo vetor posição
com
variando de
a
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a curva, calcular a diferencial de arco
e depois integrar a função
ao longo da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva. Já temos a parametrização fornecida:
para
. Isso significa que
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da parametrização em relação a
para encontrar o vetor velocidade
:
A diferencial de arco
é dada pelo comprimento desse vetor derivada:
Calculando a norma de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos expressar a função
em termos de
usando a parametrização:
Passo 5
Finalmente, substituímos tudo na integral de linha:
Calculando a integral:
Multiplicando tudo:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Calcule o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
b)
b)
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
.
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.