Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar curvas da função
que atendem a algumas condições específicas:
- A função passa pelo ponto
, ou seja, . - A derivada primeira em
é 1, ou seja, . - A derivada segunda é negativa para
, , o que indica que a curva é côncava para baixo nesse intervalo. - A derivada segunda é positiva para
, , indicando que a curva é côncava para cima nesse intervalo.
Vamos usar conceitos de derivadas para entender como a função se comporta e, assim, esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que
significa. Isso nos diz que, no ponto
, a função passa pelo valor
. Então, temos o ponto
no gráfico.
Passo 3
Agora,
nos diz a inclinação da tangente à curva no ponto
. Uma derivada primeira positiva significa que a curva está aumentando naquele ponto, e o valor 1 indica a taxa de aumento.
Passo 4
A condição
para
indica que a curva é côncava para baixo nesse intervalo. Isso significa que a inclinação está diminuindo conforme nos aproximamos de
pela esquerda.
Passo 5
Já
para
indica que a curva é côncava para cima nesse intervalo. Assim, a inclinação está aumentando conforme nos afastamos de
pela direita.
Passo 6
Além disso, o fato de
mudar de negativa para positiva em
revela que há um ponto de inflexão nesse ponto. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da curva muda.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
- Passa por
. - Tem uma inclinação de 1 naquele ponto.
- É côncava para baixo antes de
e côncava para cima após . - Existe um ponto de inflexão em
.
Resposta
O esboço da curva
passa pelo ponto
, tem uma inclinação de 1 nesse ponto, é côncava para baixo quando
, côncava para cima quando
e apresenta um ponto de inflexão em
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
a)
a)
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
pela esquerda de
e
direita de
.