Esboce as curvas y = f(x) com as seguintes propriedades: f(2) = 4, f'(2) = 1, f''(x) < 0 para x < 2, f''(x) > 0 para x > 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar curvas da função que atendem a algumas condições específicas:
  • A função passa pelo ponto , ou seja, .
  • A derivada primeira em é 1, ou seja, .
  • A derivada segunda é negativa para , , o que indica que a curva é côncava para baixo nesse intervalo.
  • A derivada segunda é positiva para , , indicando que a curva é côncava para cima nesse intervalo.
Vamos usar conceitos de derivadas para entender como a função se comporta e, assim, esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa. Isso nos diz que, no ponto , a função passa pelo valor . Então, temos o ponto no gráfico.

Passo 3

Agora, nos diz a inclinação da tangente à curva no ponto . Uma derivada primeira positiva significa que a curva está aumentando naquele ponto, e o valor 1 indica a taxa de aumento.

Passo 4

A condição para indica que a curva é côncava para baixo nesse intervalo. Isso significa que a inclinação está diminuindo conforme nos aproximamos de pela esquerda.

Passo 5

para indica que a curva é côncava para cima nesse intervalo. Assim, a inclinação está aumentando conforme nos afastamos de pela direita.

Passo 6

Além disso, o fato de mudar de negativa para positiva em revela que há um ponto de inflexão nesse ponto. Um ponto de inflexão é onde a concavidade da curva muda.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
  • Passa por .
  • Tem uma inclinação de 1 naquele ponto.
  • É côncava para baixo antes de e côncava para cima após .
  • Existe um ponto de inflexão em .

Resposta

O esboço da curva passa pelo ponto , tem uma inclinação de 1 nesse ponto, é côncava para baixo quando , côncava para cima quando e apresenta um ponto de inflexão em .

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