Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Passo 1
Beleza, vamos esboçar o gráfico da função
. O conteúdo que vamos usar aqui é o de Análise de Funções, onde precisamos encontrar pontos de interseção com os eixos, domínio, máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e limites. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, como derivadas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos ver onde a função cruza os eixos
e
.
-
Interseção com o eixo
: Para encontrar isso, basta calcular . Então, a função intercepta o eixono ponto . -
Interseção com o eixo
: Para isso, resolvemos . Portanto, a função também intercepta o eixono ponto .
Passo 3
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, o denominador
nunca será zero, já que
é sempre não negativo e, portanto,
.
Passo 4
Para achar os máximos e mínimos, vamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos
:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Para determinar se é máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada ou os sinais da primeira derivada em torno de
. Vamos simplificar observando que para
,
e para
,
. Isso indica que
é um ponto de mínimo.
Calculando
, temos um mínimo em
.
Além disso, observamos que a função tende a 1 quando
cresce para
ou
, sugerindo que não há máximo global, mas um limite superior.
Passo 5
Analisando a derivada
:
- Para
: → Função está crescendo. - Para
: → Função está decrescendo. - Em
: Derivada é zero → Pontão de mínimo.
Resumo:
- Cresce em
- Decresce em
Passo 6
Para descobrir a concavidade, vamos calcular a segunda derivada
:
Agora, analisamos onde
:
Estes são os possíveis pontos de inflexão.
Concavidade:
- Para
: → Concava para cima. - Para
: → Concava para baixo.
Pontos de Inflexão:
Calculando
:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Passo 7
Vamos calcular os limites da função em alguns pontos importantes.
-
Limite quando
tende a : -
Limite quando
tende a : -
Limite quando
tende a 0:
Esses limites nos mostram que a função se aproxima de 1 para valores grandes de
e passa pelo ponto
.
Resposta
O gráfico da função
intercepta os eixos no ponto
. Ela está definida para todos os números reais. A função tem um mínimo em
, cresce em
e decresce em
. A concavidade é para cima em
e para baixo fora desse intervalo, com pontos de inflexão em
. Além disso, a função tende a 1 quando
tende a
. Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico corretamente.
Exercícios relacionados
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
.
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
a)
a)
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
pela esquerda de
e
direita de
.
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
f) ;
f)