Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.

Passo 1

Beleza, vamos esboçar o gráfico da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o de Análise de Funções, onde precisamos encontrar pontos de interseção com os eixos, domínio, máximos e mínimos, intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e limites. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, como derivadas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos ver onde a função cruza os eixos e .
  • Interseção com o eixo : Para encontrar isso, basta calcular .
    Então, a função intercepta o eixo no ponto .
  • Interseção com o eixo : Para isso, resolvemos .
    Portanto, a função também intercepta o eixo no ponto .

Passo 3

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , o denominador nunca será zero, já que é sempre não negativo e, portanto, .
íú

Passo 4

Para achar os máximos e mínimos, vamos derivar a função e encontrar onde a derivada é zero ou não existe.
Primeiro, derivamos :
Agora, igualamos a derivada a zero:
Então, temos um ponto crítico em .
Para determinar se é máximo ou mínimo, analisamos a segunda derivada ou os sinais da primeira derivada em torno de . Vamos simplificar observando que para , e para , . Isso indica que é um ponto de mínimo.
Calculando , temos um mínimo em .
Além disso, observamos que a função tende a 1 quando cresce para ou , sugerindo que não há máximo global, mas um limite superior.

Passo 5

Analisando a derivada :
  • Para : → Função está crescendo.
  • Para : → Função está decrescendo.
  • Em : Derivada é zero → Pontão de mínimo.
Resumo:
  • Cresce em
  • Decresce em

Passo 6

Para descobrir a concavidade, vamos calcular a segunda derivada :
Agora, analisamos onde :
Estes são os possíveis pontos de inflexão.
Concavidade:
  • Para : → Concava para cima.
  • Para : → Concava para baixo.
Pontos de Inflexão:
Calculando :
Então, os pontos de inflexão são e .

Passo 7

Vamos calcular os limites da função em alguns pontos importantes.
  • Limite quando tende a :
  • Limite quando tende a :
  • Limite quando tende a 0:
Esses limites nos mostram que a função se aproxima de 1 para valores grandes de e passa pelo ponto .

Resposta

O gráfico da função intercepta os eixos no ponto . Ela está definida para todos os números reais. A função tem um mínimo em , cresce em e decresce em . A concavidade é para cima em e para baixo fora desse intervalo, com pontos de inflexão em . Além disso, a função tende a 1 quando tende a . Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico corretamente.

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Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para .
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
a)
Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para pela esquerda de e direita de .
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
f) ;