Calcule integralC f d s, onde f e r são como indicadas abaixo:
f) f(x, y, z)=2 x-raizy+2 z^2;
r(t)=rr (t, t^2, 0), & se 0 <= t <= 1 (1,1, t-1), & se 1 <= t <= 3

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral de linha , onde a função é dada por . A curva está parametrizada de forma diferente em dois intervalos de : de a e de a . Vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma os valores de ao longo da curva , multiplicados por um pequeno pedaço do comprimento da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a curva r(t) = (t, t^2, 0) em dois trechos, de acordo com a parametrização fornecida:
  1. Para r(t) = (1, 1, t - 1) :
  2. Para :

Passo 3

Vamos calcular a integral em cada trecho separadamente e depois somar os resultados.

Trecho 1:

Passo 4

Primeiro, encontramos r'(t) = (dxdt, dydt, dzdt) = (1, 2t, 0) , que é a derivada da parametrização:

Passo 5

Calculamos a magnitude de ds = |r'(t)| = raiz1^2 + (2t)^2 + 0^2 = raiz1 + 4t^2 , que é :

Passo 6

Substituímos f(r(t)) = 2t - raizt^2 + 2 cdot 0^2 = 2t - t = t , e na função :
(Note que porque )

Passo 7

Agora, montamos a integral para este trecho:
integral0^1 f(r(t)) , ds = integral0^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt
Vamos resolver essa integral por substituição. Seja integral0^1 t cdot raiz1 + 4t^2 , dt = 18 integral1^5 raizu , du = 18 cdot 23 (5^3/2 - 1^3/2) = 112 (5raiz5 - 1) , então ou .
Alterando os limites:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então:

Trecho 2:

Passo 8

Encontramos r'(t) = (0, 0, 1) :
ds = |r'(t)| = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = 1
Então:

Passo 9

Substituímos f(r(t)) = 2 cdot 1 - raiz1 + 2(t - 1)^2 = 2 - 1 + 2(t - 1)^2 = 1 + 2(t - 1)^2 , e na função :

Passo 10

Montamos a integral para este trecho:
integral1^3 f(r(t)) , ds = integral1^3 (1 + 2(t - 1)^2) , dt
Resolvendo:
integral1^3 1 , dt = 2
integral1^3 2(t - 1)^2 , dt = 2 cdot [(t - 1)^33]1^3 = 2 cdot (83) = 163
Então, a integral total deste trecho é:
2 + 163 = 223

Resposta

Somando as integrais dos dois trechos:
integralC f , ds = 112 (5raiz5 - 1) + 223 = 5raiz5 - 112 + 8812 = 5raiz5 + 8712
Portanto, o valor da integral é .

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