Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
f)
;
f)
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral de linha
, onde a função
é dada por
. A curva
está parametrizada de forma diferente em dois intervalos de
: de
a
e de
a
. Vamos usar o conceito de integral de linha, que basicamente soma os valores de
ao longo da curva
, multiplicados por um pequeno pedaço do comprimento da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a curva
em dois trechos, de acordo com a parametrização fornecida:
-
Para
: -
Para
:
Passo 3
Vamos calcular a integral em cada trecho separadamente e depois somar os resultados.
Trecho 1:
Passo 4
Primeiro, encontramos
, que é a derivada da parametrização:
Passo 5
Calculamos a magnitude de
, que é
:
Passo 6
Substituímos
,
e
na função
:
(Note que
porque
)
Passo 7
Agora, montamos a integral para este trecho:
Vamos resolver essa integral por substituição. Seja
, então
ou
.
Alterando os limites:
- Quando
, - Quando
,
Então:
Trecho 2:
Passo 8
Encontramos
:
Então:
Passo 9
Substituímos
,
e
na função
:
Passo 10
Montamos a integral para este trecho:
Resolvendo:
Então, a integral total deste trecho é:
Resposta
Somando as integrais dos dois trechos:
Portanto, o valor da integral é
.