Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para pela esquerda de e direita de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas que satisfazem algumas condições específicas. Estamos lidando com derivadas, que é um conceito da cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas primeira e segunda influenciam o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, temos que . Isso significa que no ponto , a função passa pelo ponto . É uma condição inicial que vai nos ajudar a determinar a posição da curva.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a derivada primeira, . Diz que à esquerda de e à direita de . A derivada primeira nos diz a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Então, para , a inclinação é 1 (subindo), e para , a inclinação é -1 (descendo).

Passo 4

Vamos integrar a derivada para encontrar a expressão de . A derivada primeira sendo 1 para implica que:
E para :
Onde e são constantes de integração que precisamos determinar.

Passo 5

Usando a condição , vamos encontrar essas constantes.
Para :
Então, as equações ficam:

Passo 6

Agora, vamos considerar a segunda derivada, . Foi dado que para . A segunda derivada indica a concavidade da curva. Se , a curva é côncava para baixo.
No nosso caso, como é constante para e , isso significa que a segunda derivada é zero nessas regiões. Contudo, a condição sugere que há uma “mudança” na concavidade em , possivelmente uma cuspide ou ponto de inflexão.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
  • Para , a função é uma reta com inclinação 1, passando por .
  • Para , a função é uma reta com inclinação -1, também passando por .
  • Em , há uma mudança súbita na inclinação, e a concavidade é para baixo.

Resposta

A curva é composta por duas retas: uma com inclinação 1 para passando pelo ponto , e outra com inclinação -1 para também passando por . Em , há uma mudança abrupta na direção da curva, formando um ponto de inflexão com concavidade para baixo.

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Esboce as curvas com as seguintes propriedades: para para .
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
f) ;
Encontre o domínio e esboce o gráfico de