Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
pela esquerda de
e
direita de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar as curvas
que satisfazem algumas condições específicas. Estamos lidando com derivadas, que é um conceito da cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como as derivadas primeira e segunda influenciam o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, temos que
. Isso significa que no ponto
, a função passa pelo ponto
. É uma condição inicial que vai nos ajudar a determinar a posição da curva.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a derivada primeira,
. Diz que
à esquerda de
e
à direita de
. A derivada primeira nos diz a inclinação da reta tangente à curva em cada ponto. Então, para
, a inclinação é 1 (subindo), e para
, a inclinação é -1 (descendo).
Passo 4
Vamos integrar a derivada para encontrar a expressão de
. A derivada primeira sendo 1 para
implica que:
E para
:
Onde
e
são constantes de integração que precisamos determinar.
Passo 5
Usando a condição
, vamos encontrar essas constantes.
Para
:
Então, as equações ficam:
Passo 6
Agora, vamos considerar a segunda derivada,
. Foi dado que
para
. A segunda derivada indica a concavidade da curva. Se
, a curva é côncava para baixo.
No nosso caso, como
é constante para
e
, isso significa que a segunda derivada é zero nessas regiões. Contudo, a condição
sugere que há uma “mudança” na concavidade em
, possivelmente uma cuspide ou ponto de inflexão.
Passo 7
Com todas essas informações, podemos esboçar a curva:
- Para
, a função é uma reta com inclinação 1, passando por . - Para
, a função é uma reta com inclinação -1, também passando por . - Em
, há uma mudança súbita na inclinação, e a concavidade é para baixo.
Resposta
A curva
é composta por duas retas: uma com inclinação 1 para
passando pelo ponto
, e outra com inclinação -1 para
também passando por
. Em
, há uma mudança abrupta na direção da curva, formando um ponto de inflexão com concavidade para baixo.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das funções abaixo. Para isto, determine a interseção com os eixos (caso exista), o domínio, os máximos e mínimos (caso existam), os intervalos de crescimento de decrescimento, os intervalos em que a função é côncava para cima e para baixo, os pontos de inflexão (caso exista) e calcule todos os limites necessários.
Esboce as curvas
com as seguintes propriedades:
para
para
.
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
f) ;
f)