Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso envolve cálculo de limites em funções de várias variáveis e uso das propriedades dos logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo dentro do logaritmo quando
chega perto de
. Substituindo esses valores na expressão:
E sabemos que
. Então, parece que o limite pode ser 0. Mas precisamos ter certeza de que esse resultado é válido independentemente do caminho que a gente escolher para chegar em
.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos diferentes para garantir que o limite seja realmente 0:
-
Caminho
: Se fixarmos , a expressão fica: Quandose aproxima de 1, , então o limite aqui é 0. -
Caminho
: Se fixarmos , a expressão fica: Quandose aproxima de 0, temos: Então, o limite também é 0 por esse caminho. -
Caminho geral
: Vamos considerar uma linha qualquer onde depende de . Substituindo, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de 1 conforme , o que novamente dá .
Em todos os caminhos que testamos, o limite deu 0. Isso sugere que o limite realmente existe e é igual a 0.
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
f) ;
f)
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
e)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
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