Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
8. lim (x, y) (1,0) ln ((1-y^2)(x^2+x y))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função ln (1 - y^2x^2 + x y) quando o ponto (x, y) se aproxima de (1, 0). Isso envolve cálculo de limites em funções de várias variáveis e uso das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo dentro do logaritmo quando (x, y) chega perto de (1, 0). Substituindo esses valores na expressão:
1 - 0^21^2 + 1 cdot 0 = 11 = 1
E sabemos que ln(1) = 0. Então, parece que o limite pode ser 0. Mas precisamos ter certeza de que esse resultado é válido independentemente do caminho que a gente escolher para chegar em (1, 0).

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para garantir que o limite seja realmente 0:
  1. Caminho y = 0: Se fixarmos y = 0, a expressão fica:
    ln(1 - 0^2x^2 + x cdot 0) = ln(1x^2) = -2ln(x)
    Quando x se aproxima de 1, ln(1) = 0, então o limite aqui é 0.
  2. Caminho x = 1: Se fixarmos x = 1, a expressão fica:
    ln(1 - y^21^2 + 1 cdot y) = ln(1 - y^21 + y)
    Quando y se aproxima de 0, temos:
    1 - 0^21 + 0 = 1 e ln(1) = 0
    Então, o limite também é 0 por esse caminho.
  3. Caminho geral y = k(x - 1): Vamos considerar uma linha qualquer onde y depende de x. Substituindo, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de 1 conforme (x, y) (1, 0), o que novamente dá ln(1) = 0.
Em todos os caminhos que testamos, o limite deu 0. Isso sugere que o limite realmente existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a 0.

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