Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
8.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o limite da função quando o ponto se aproxima de . Isso envolve cálculo de limites em funções de várias variáveis e uso das propriedades dos logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo dentro do logaritmo quando chega perto de . Substituindo esses valores na expressão:
E sabemos que . Então, parece que o limite pode ser 0. Mas precisamos ter certeza de que esse resultado é válido independentemente do caminho que a gente escolher para chegar em .

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para garantir que o limite seja realmente 0:
  1. Caminho : Se fixarmos , a expressão fica:
    Quando se aproxima de 1, , então o limite aqui é 0.
  2. Caminho : Se fixarmos , a expressão fica:
    Quando se aproxima de 0, temos:
    Então, o limite também é 0 por esse caminho.
  3. Caminho geral : Vamos considerar uma linha qualquer onde depende de . Substituindo, a expressão dentro do logaritmo se aproxima de 1 conforme , o que novamente dá .
Em todos os caminhos que testamos, o limite deu 0. Isso sugere que o limite realmente existe e é igual a 0.

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre o domínio e esboce o gráfico de
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
f) ;
Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
e)
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
11.