Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a função e a curva é dada por para .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha no contexto de cálculo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função , calcular a derivada da parametrização e, por fim, integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a parametrização na função . Isso significa que substituímos por , por e por .
Então, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da parámetro em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a velocidade com que percorremos a curva.
Derivando cada componente:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo de , que representa o diferencial de comprimento de arco . A fórmula para o módulo é:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos e , podemos montar a integral de linha:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral termo a termo:
  1. (porque ).
  2. (pois é uma função periódica que se anula no intervalo completo).
Multiplicando tudo por 5:

Resposta

A integral é igual a .

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