Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde a função
e a curva
é dada por
para
.
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha no contexto de cálculo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função
, calcular a derivada da parametrização e, por fim, integrar tudo isso no intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a parametrização
na função
. Isso significa que substituímos
por
,
por
e
por
.
Então, temos:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada da parámetro
em relação a
, ou seja,
. A derivada nos dá a velocidade com que percorremos a curva.
Derivando cada componente:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular o módulo de
, que representa o diferencial de comprimento de arco
. A fórmula para o módulo é:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos
e
, podemos montar a integral de linha:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver a integral termo a termo:
-
(porque ). -
(pois é uma função periódica que se anula no intervalo completo). -
Multiplicando tudo por 5:
Resposta
A integral
é igual a
.
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