Calcule integralC f d s, onde f e r são como indicadas abaixo:
c) f(x, y, z)=3 x+x y+z^3 ; r(t)=(cos 4 t, sin 4 t, 3 t), 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde a função e a curva é dada por para .
Aqui, estamos trabalhando com integrais de linha no contexto de cálculo vetorial. Para resolver isso, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função , calcular a derivada da parametrização e, por fim, integrar tudo isso no intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a parametrização f(r(t)) = 3(cos 4t) + (cos 4t)(sin 4t) + (3t)^3 na função f(r(t)) = 3cos 4t + cos 4t sin 4t + 27t^3 . Isso significa que substituímos por , por e por .
Então, temos:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada da parámetro r'(t) = ( ddt cos 4t, ddt sin 4t, ddt 3t ) = (-4sin 4t, 4cos 4t, 3) em relação a , ou seja, . A derivada nos dá a velocidade com que percorremos a curva.
Derivando cada componente:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o módulo de |r'(t)| = raiz(-4sin 4t)^2 + (4cos 4t)^2 + (3)^2 , que representa o diferencial de comprimento de arco |r'(t)| = raiz16sin^24t + 16cos^24t + 9 = raiz16(sin^24t + cos^24t) + 9 = raiz16 + 9 = raiz25 = 5 . A fórmula para o módulo é:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos integralC f , ds = integral0^2pi f(r(t)) cdot |r'(t)| , dt e integral0^2pi (3cos 4t + cos 4t sin 4t + 27t^3) cdot 5 , dt = 5 integral0^2pi (3cos 4t + cos 4t sin 4t + 27t^3) , dt , podemos montar a integral de linha:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos resolver a integral termo a termo:
  1. 5 cdot (0 + 0 + 108pi^4) = 540pi^4 (porque ).
  2. (pois é uma função periódica que se anula no intervalo completo).
Multiplicando tudo por 5:

Resposta

A integral é igual a .

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