Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao estudo de Cálculo Diferencial, especificamente às derivadas parciais, que nos permitem ver como a função muda quando variamos uma variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. Para encontrar
, tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
. Da mesma forma, para
, tratamos
como constante e derivamos em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. A função é
. A derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
Então,
Passo 4
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
. Como
é constante, a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
. Usamos o mesmo processo: derivamos
em relação a
.
Passo 7
Calculamos a derivada de
em relação a
. Aqui,
é constante, então a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais são: