Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
p)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis (ou seja, x ou y), mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e o regra do poder da derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , que é denotada por .
A função é . Podemos reescrever isso como para facilitar a derivação.
Aplicando a regra do poder, a derivada de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função externa e depois multiplicamos pela derivada da função interna .
Simplificando:
Multiplicando pelo 5 que estava na frente:
Ou, de forma mais limpa:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que é .
Usando o mesmo raciocínio:
Derivando em relação a :
Multiplicando pelo 5:
Ou seja:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
m)
Calcule , onde e são como indicadas abaixo:
c)
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
r)
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u)