Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
p)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis (ou seja, x ou y), mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos usar a regra da cadeia e o regra do poder da derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, que é denotada por
.
A função é
. Podemos reescrever isso como
para facilitar a derivação.
Aplicando a regra do poder, a derivada de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos a função externa
e depois multiplicamos pela derivada da função interna
.
Simplificando:
Multiplicando pelo 5 que estava na frente:
Ou, de forma mais limpa:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que é
.
Usando o mesmo raciocínio:
Derivando em relação a
:
Multiplicando pelo 5:
Ou seja:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
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m)
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Calcule
, onde
e
são como indicadas abaixo:
c)
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u)
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