Use a Regra da cadeia para determinar dz/dt ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses exercícios usando a Regra da Cadeia, que faz parte do conteúdo de cálculo diferencial. A Regra da Cadeia é usada para encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de uma terceira. Aqui, a gente vai precisar calcular derivadas como
ou
para diferentes funções
em relação a
.
Passo 2
Exercício 1:
Dado:
Primeiro, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar
. A ideia é derivar
em relação a
, considerando que
depende de
e
, que por sua vez dependem de
.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Vamos resolver o segundo exercício usando a Regra da Cadeia. Aqui, a função
é dada em termos de
e
, que também dependem de
. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 7
Exercício 2:
Dado:
Passo 8
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 9
Agora, derivamos
e
em relação a
:
Passo 10
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas:
Passo 11
Por fim, vamos resolver o terceiro exercício utilizando a Regra da Cadeia. Tem uma função
que depende de
e
, e elas dependem de
. A meta é achar
.
Passo 12
Exercício 3:
Dado:
Passo 13
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 14
Agora, derivamos
e
em relação a
:
Passo 15
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo as derivadas:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Substituindo
e
, você pode simplificar a expressão para obter o resultado final em termos de
.