Use a Regra da cadeia para determinar dz/dt ou dw / dt.
& 1 z=x^2 y+x y^2, x=2+t^4, y=1-t^3 & 2 z=raizx^2+y^2, x=e^2 t, y=e^-2 t & 3 z=sin x cos y, x=pi t, y=raizt

Passo 1

Beleza, vamos resolver esses exercícios usando a Regra da Cadeia, que faz parte do conteúdo de cálculo diferencial. A Regra da Cadeia é usada para encontrar a derivada de uma função composta, ou seja, quando uma variável depende de outra que, por sua vez, depende de uma terceira. Aqui, a gente vai precisar calcular derivadas como ou para diferentes funções em relação a .

Passo 2

Exercício 1:
Dado:
z = x^2 y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3
Primeiro, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar . A ideia é derivar em relação a , considerando que depende de e , que por sua vez dependem de .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x y + y^2 em relação a partial zpartial y = x^2 + 2x y e :

Passo 4

Agora, vamos derivar dxdt = ddt(2 + t^4) = 4t^3 e dydt = ddt(1 - t^3) = -3t^2 em relação a :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo as derivadas que encontramos:
dzdt = (2x y + y^2) cdot 4t^3 + (x^2 + 2x y) cdot (-3t^2)

Passo 6

Vamos resolver o segundo exercício usando a Regra da Cadeia. Aqui, a função é dada em termos de e , que também dependem de . Nosso objetivo é encontrar .

Passo 7

Exercício 2:
Dado:
z = raizx^2 + y^2, x = e^2t, y = e^-2t

Passo 8

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de partial zpartial x = xraizx^2 + y^2 em relação a partial zpartial y = yraizx^2 + y^2 e :

Passo 9

Agora, derivamos dxdt = ddt(e^2t) = 2e^2t e dydt = ddt(e^-2t) = -2e^-2t em relação a :

Passo 10

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo as derivadas:
dzdt = xraizx^2 + y^2 cdot 2e^2t + yraizx^2 + y^2 cdot (-2e^-2t)

Passo 11

Por fim, vamos resolver o terceiro exercício utilizando a Regra da Cadeia. Tem uma função que depende de e , e elas dependem de . A meta é achar .

Passo 12

Exercício 3:
Dado:
z = sin x cos y, x = pi t, y = raizt

Passo 13

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial zpartial x = cos x cos y em relação a partial zpartial y = -sin x sin y e :

Passo 14

Agora, derivamos dxdt = ddt(pi t) = pi e dydt = ddt(raizt) = 12raizt em relação a :

Passo 15

Aplicando a Regra da Cadeia:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo as derivadas:
dzdt = cos x cos y cdot pi + (-sin x sin y) cdot 12raizt

Resposta

Portanto, a derivada dzdt = cos x cos y cdot pi - sin x sin y cdot 12raizt é:
Substituindo e , você pode simplificar a expressão para obter o resultado final em termos de .

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