Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 1raizn ln (n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma série infinita para analisar: sumn=1^infty 1raizn ln (n). Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem uma soma definida). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que aprendemos em Cálculo, como o teste da integral e o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela é composta por termos da forma 1raizn ln(n). Sabemos que raizn = n^1/2 e que ln(n) cresce bem devagar conforme n aumenta. Isso já nos dá uma pista de que a série pode ter dificuldade para convergir.
Vamos aplicar o Teste da Integral, que é útil para séries cujos termos são positivos e decrescentes, como essa. A ideia é comparar a série com uma integral equivalente e verificar se essa integral converge ou diverge.
A série sumn=2^infty 1raizn ln(n) (começando de n=2 para evitar o problema com n=1) pode ser comparada à integral:
integral2^infty 1raizx ln(x) , dx
Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja u = ln(x), então du = 1x dx, ou seja, dx = x , du. Mas como x = e^u, temos dx = e^u du.
Substituindo na integral:
integral 1raize^u cdot u cdot e^u du = integral e^ue^u/2 cdot u du = integral e^u/2u du
Essa integral ainda é complicada, mas sabemos que e^u/2 cresce exponencialmente, enquanto u cresce apenas linearmente. Portanto, a integral diverge.
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série sumn=2^infty 1raizn ln(n) também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1raizn ln(n) diverge; ou seja, não tem uma soma finita.

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