Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem aqui uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem uma soma definida). Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries que aprendemos em Cálculo, como o teste da integral e o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série. Ela é composta por termos da forma
. Sabemos que
e que
cresce bem devagar conforme n aumenta. Isso já nos dá uma pista de que a série pode ter dificuldade para convergir.
Vamos aplicar o Teste da Integral, que é útil para séries cujos termos são positivos e decrescentes, como essa. A ideia é comparar a série com uma integral equivalente e verificar se essa integral converge ou diverge.
A série
(começando de n=2 para evitar o problema com n=1) pode ser comparada à integral:
Vamos resolver essa integral. Podemos fazer uma substituição para facilitar:
Seja
, então
, ou seja,
. Mas como
, temos
.
Substituindo na integral:
Essa integral ainda é complicada, mas sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce apenas linearmente. Portanto, a integral diverge.
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge; ou seja, não tem uma soma finita.
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Calcule
, onde
e
parametrizada por
.
Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.