Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial . Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que facilita a integração.

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Isolando :
Para determinar , usamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule , onde
e parametrizada por .
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: