Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. Esse tipo de problema pertence ao estudo das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para uma forma que facilita a integração.
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Isolando
:
Para determinar
, usamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Calcule
, onde
e
parametrizada por
.
Determine se as seguintes séries convergem ou divergem: