Calcule integralC(3 x+2 y) d x+(3 x-y) d y de (0,0) a (1,1), ao longo
© do arco de circunferência x^2+(y-1)^2=1, orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral de linha de até ao longo do arco da circunferência , seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma circunferência com centro em e raio 1. Queremos ir de a ao longo dessa circunferência no sentido anti-horário.

Passo 3

Para parametrizar a circunferência, usamos um ângulo x = cos theta . Como o centro é y = 1 + sin theta , a parametrização fica:
0 = cos theta Rightarrow theta = pi/2
0 = 1 + sin theta Rightarrow sin theta = -1 Rightarrow theta = 3pi/2
Agora, precisamos determinar os limites para . No ponto :
Mas isso não faz sentido, então devemos verificar novamente. Na verdade, o ponto corresponde a e o ponto corresponde a .

Passo 4

Com isso, nosso intervalo para é de até , mas como queremos sentido anti-horário, percorremos de até .

Passo 5

Agora, vamos calcular dx = -sin theta , dtheta e dy = cos theta , dtheta em termos de :

Passo 6

Substituindo tudo na integral:
integralC(3x + 2y) dx + (3x - y) dy = integral3pi/2^2pi [3cos theta + 2(1 + sin theta)] (-sin theta) dtheta + [3cos theta - (1 + sin theta)] (cos theta) dtheta

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
[3cos theta + 2 + 2sin theta] (-sin theta) + [3cos theta -1 - sin theta] cos theta
Distribuindo:
-3cos theta sin theta - 2sin theta - 2sin^2 theta + 3cos^2 theta - cos theta - sin theta cos theta

Passo 8

Agora, integraremos termo a termo:
integral3pi/2^2pi (-3cos theta sin theta - 2sin theta - 2sin^2 theta + 3cos^2 theta - cos theta - sin theta cos theta ) dtheta

Passo 9

Resolvendo cada integral:

Passo 10

Somando todas as partes:
-32 sin^2 theta + 2cos theta - theta + sin 2theta2 + 3theta2 + 3sin 2theta4 - sin theta - 12 sin^2 theta + C
Simplificando:

Passo 11

Avaliaremos de -2 cdot 0 + 2 cdot 1 + 2pi2 + 5 cdot 04 - 0 = 2 + pi a -2 cdot 1 + 2 cdot 0 + 3pi/22 + 5 cdot 04 - (-1) = -2 + 3pi4 + 1 = -1 + 3pi4 :
Substituindo :
Substituindo :

Passo 12

Calculando a diferença:
(2 + pi) - (-1 + 3pi4) = 3 + pi4

Resposta

3 + pi4

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