Calcule de a , ao longo
© do arco de circunferência , orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral de linha de até ao longo do arco da circunferência , seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . A equação representa uma circunferência com centro em e raio 1. Queremos ir de a ao longo dessa circunferência no sentido anti-horário.

Passo 3

Para parametrizar a circunferência, usamos um ângulo . Como o centro é , a parametrização fica:
Agora, precisamos determinar os limites para . No ponto :
Mas isso não faz sentido, então devemos verificar novamente. Na verdade, o ponto corresponde a e o ponto corresponde a .

Passo 4

Com isso, nosso intervalo para é de até , mas como queremos sentido anti-horário, percorremos de até .

Passo 5

Agora, vamos calcular e em termos de :

Passo 6

Substituindo tudo na integral:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Distribuindo:

Passo 8

Agora, integraremos termo a termo:

Passo 9

Resolvendo cada integral:

Passo 10

Somando todas as partes:
Simplificando:

Passo 11

Avaliaremos de a :
Substituindo :
Substituindo :

Passo 12

Calculando a diferença:

Resposta

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Calcule de a , ao longo
(b) do arco de parábola
Calcule de a ao longo
© da poligonal de vértices: e
O campo de forças atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por .
Um campo de forças bidimensional define-se por .
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de e .