Calcule
de
a
, ao longo
© do arco de circunferência
, orientado no sentido anti-horário.
© do arco de circunferência
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais de linha! A gente precisa calcular a integral de linha
de
até
ao longo do arco da circunferência
, seguindo no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. A equação
representa uma circunferência com centro em
e raio 1. Queremos ir de
a
ao longo dessa circunferência no sentido anti-horário.
Passo 3
Para parametrizar a circunferência, usamos um ângulo
. Como o centro é
, a parametrização fica:
Agora, precisamos determinar os limites para
. No ponto
:
Mas isso não faz sentido, então devemos verificar novamente. Na verdade, o ponto
corresponde a
e o ponto
corresponde a
.
Passo 4
Com isso, nosso intervalo para
é de
até
, mas como queremos sentido anti-horário, percorremos de
até
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
em termos de
:
Passo 6
Substituindo tudo na integral:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Distribuindo:
Passo 8
Agora, integraremos termo a termo:
Passo 9
Resolvendo cada integral:
Passo 10
Somando todas as partes:
Simplificando:
Passo 11
Avaliaremos de
a
:
Substituindo
:
Substituindo
:
Passo 12
Calculando a diferença:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule
de
a
, ao longo
(b) do arco de parábola
(b) do arco de parábola
Calcule
de
a
ao longo
© da poligonal de vértices: e
© da poligonal de vértices:
O campo de forças
atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por
.
Um campo de forças bidimensional
define-se por
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de
e
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva