Um campo de forças bidimensional
define-se por
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva
, depende unicamente de
e
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um campo de forças bidimensional dado por
. A questão pede para a gente provar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva
, no intervalo
, depende apenas dos valores iniciais e finais das funções
e
, ou seja, de
,
,
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Isso acontece quando o campo de forças é conservativo, ou seja, existe uma função potencial
tal que
. Se
for conservativo, o trabalho realizado ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença das potencias nas extremidades, não dependendo do caminho seguido.
Passo 3
Para verificar se
é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas das componentes de
são iguais. Se
, então
.
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante.
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial encontrada, o trabalho realizado
ao deslocar a partícula de
para
é dado pela diferença das potências nesses pontos:
Isso mostra que o trabalho depende apenas dos valores iniciais e finais de
e
, ou seja, de
,
,
e
, confirmando o que foi solicitado.
Resposta
O trabalho realizado pela força
depende unicamente de
,
,
e
.
Exercícios relacionados
O campo de forças
atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por
.
Calcule
de
a
, ao longo
© do arco de circunferência , orientado no sentido anti-horário.
© do arco de circunferência
Se
é a região interior à elipse
e exterior à circunferência
, calcule a integral de linha
, onde
está orientada positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde
é a fronteira da região limitada por
e
, com
.
©