Um campo de forças bidimensional F define-se por F(x, y) = (x+y) i + (x-y) j.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva r(t) = f(t) i + g(t) j, a <= t <= b, depende unicamente de f(a), f(b), g(a) e g(b).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo de forças bidimensional dado por . A questão pede para a gente provar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva , no intervalo , depende apenas dos valores iniciais e finais das funções e , ou seja, de , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Isso acontece quando o campo de forças é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que . Se for conservativo, o trabalho realizado ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença das potencias nas extremidades, não dependendo do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas das componentes de são iguais. Se , então .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, o trabalho realizado ao deslocar a partícula de para é dado pela diferença das potências nesses pontos:
Isso mostra que o trabalho depende apenas dos valores iniciais e finais de e , ou seja, de , , e , confirmando o que foi solicitado.

Resposta

O trabalho realizado pela força depende unicamente de , , e .

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