Um campo de forças bidimensional define-se por .
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de e .

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um campo de forças bidimensional dado por . A questão pede para a gente provar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula ao longo de uma curva , no intervalo , depende apenas dos valores iniciais e finais das funções e , ou seja, de , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que o trabalho depende apenas dos pontos inicial e final. Isso acontece quando o campo de forças é conservativo, ou seja, existe uma função potencial tal que . Se for conservativo, o trabalho realizado ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença das potencias nas extremidades, não dependendo do caminho seguido.

Passo 3

Para verificar se é conservativo, precisamos checar se as derivadas cruzadas das componentes de são iguais. Se , então .
Aqui, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Como , o campo é conservativo.

Passo 4

Agora que sabemos que é conservativo, vamos encontrar a função potencial tal que . Isso significa que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função arbitrária de .
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Onde é uma constante.
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, o trabalho realizado ao deslocar a partícula de para é dado pela diferença das potências nesses pontos:
Isso mostra que o trabalho depende apenas dos valores iniciais e finais de e , ou seja, de , , e , confirmando o que foi solicitado.

Resposta

O trabalho realizado pela força depende unicamente de , , e .

Exercícios relacionados

O campo de forças atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies e , orientada de modo que sua projeção no plano seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por .
Calcule de a , ao longo
© do arco de circunferência , orientado no sentido anti-horário.
Se é a região interior à elipse e exterior à circunferência , calcule a integral de linha , onde está orientada positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
© , onde é a fronteira da região limitada por e , com .