Calcule integralC(3 x+2 y) d x+(3 x-y) d y de (0,0) a (1,1), ao longo
(b) do arco de parábola y=x^2

Passo 1

Beleza, estamos resolvendo uma integral de linha. O enunciado pede para calcular de até ao longo da parábola . Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e integração de funções vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva y = t^2 . Como dx = dt e dy = 2t , dt , podemos definir , onde varia de 0 a 1. Assim, temos:
Dessa forma, as derivadas em relação a são:

Passo 3

Agora, substituímos integral0^1 [ (3t + 2t^2) , dt + (3t - t^2) cdot 2t , dt ] , , e na integral original. Ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3t + 2t^2) + (3t - t^2) cdot 2t = 3t + 2t^2 + 6t^2 - 2t^3 = 3t + 8t^2 - 2t^3
Portanto, a integral fica:
integral0^1 (3t + 8t^2 - 2t^3) , dt

Passo 5

Agora, integramos termo a termo:
integral 3t , dt = 32t^2
integral 8t^2 , dt = 83t^3
integral -2t^3 , dt = -24t^4 = -12t^4
Juntando tudo:
32t^2 + 83t^3 - 12t^4

Passo 6

Finalmente, avaliamos de ( 32(1)^2 + 83(1)^3 - 12(1)^4 ) - ( 32(0)^2 + 83(0)^3 - 12(0)^4 ) = 32 + 83 - 12 a 32 - 12 = 1 e 1 + 83 = 113 :
Simplificando:

Resposta

113

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