O campo de forças F(x, y, z) = (x - 2, y - 2, z - 4x - 4) atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e z = 4x + 4y - 4, orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por F.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva específica no espaço. A matéria envolvida é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de integrais de linha para calcular trabalho. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de interseção das superfícies dadas e depois aplicar a fórmula do trabalho para campos de força.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva de interseção das duas superfícies:
  1. (uma parábola circular)
  2. (um plano inclinado)
Para encontrar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
Rearranjando os termos:
Completando o quadrado para e :
Essa é a equação de um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo de raio 2, podemos usar a parametrização em termos de :
Para encontrar , substituímos e na equação do plano:
Então, a parametrização da curva é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor diferencial :
Derivando cada componente em relação a :
Portanto,

Passo 5

Vamos agora expressar o campo de forças na parametrização da curva:
Substituindo , e :
Simplificando cada componente:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :
Então,

Passo 6

O trabalho realizado por ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Substituindo e :
Calculando o produto interno:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
  1. Podemos usar a identidade , então:
    (porque a integral de uma função senoidal completa em seu período é zero)
  2. Usamos a identidade :
    Integrando:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de forças ao longo da curva é .

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