O campo de forças
atua sobre uma partícula transladando-a ao longo da curva interseção das superfícies
e
, orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida uma vez, no sentido horário. Calcule o trabalho realizado por
.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é um exercício sobre trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva específica no espaço. A matéria envolvida é cálculo vetorial, mais especificamente o conceito de integrais de linha para calcular trabalho. Vamos precisar entender como parametrizar a curva de interseção das superfícies dadas e depois aplicar a fórmula do trabalho para campos de força.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva de interseção das duas superfícies:
-
(uma parábola circular) -
(um plano inclinado)
Para encontrar a curva de interseção, igualamos as duas equações:
Rearranjando os termos:
Completando o quadrado para
e
:
Essa é a equação de um círculo no plano
com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar essa curva. Como é um círculo de raio 2, podemos usar a parametrização em termos de
:
Para encontrar
, substituímos
e
na equação do plano:
Então, a parametrização da curva é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor diferencial
:
Derivando cada componente em relação a
:
Portanto,
Passo 5
Vamos agora expressar o campo de forças
na parametrização da curva:
Substituindo
,
e
:
Simplificando cada componente:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Então,
Passo 6
O trabalho realizado por
ao longo da curva é dado pela integral de linha:
Substituindo
e
:
Calculando o produto interno:
Simplificando cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
-
Podemos usar a identidade
, então: (porque a integral de uma função senoidal completa em seu período é zero) -
Usamos a identidade
: Integrando:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de forças
ao longo da curva é
.
Exercícios relacionados
Calcule
de
a
, ao longo
© do arco de circunferência , orientado no sentido anti-horário.
© do arco de circunferência
Calcule
de
a
, ao longo
(b) do arco de parábola
(b) do arco de parábola
Um campo de forças bidimensional
define-se por
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva , depende unicamente de
e
.
(a) Prove que o trabalho realizado por esta força ao deslocar uma partícula ao longo da curva
Se
é a região interior à elipse
e exterior à circunferência
, calcule a integral de linha
, onde
está orientada positivamente.